數論之BSGS演算法
BSGS演算法
\(BSGS(baby-step giant-step)\)，即大步小步演算法。常用於求解離散對數問題。
形式化地說，該演算法可以在 \(O \sqrt{p}\) 的時間內求解
\[a^x \equiv b (mod\ p) \]其中 \(gcd(a,p)=1\)
根據尤拉定理，當 \(gcd(a,p)=1\) 時，\(a^{\varphi(p)}mod\ p=1\)
而 \(a^0mod\ p=1\)
所以從 \(1 \sim \varphi(p)\) 出現了一個迴圈節
因此，我們只需要求出 \(a^1 \sim a^{\varphi(p)}\)
然後分別帶入左右兩邊判斷是否相等
一般的題目中 \(p\) 為質數，所以 \(\varphi(p)=p-1\)
一般就用 \(p\) 替代
但是這樣做時間複雜度太高，可以用分塊的思想優化
令 \(a^x=a^{km-t}\)，那麼原式就變成了
\[a^{km} \equiv ba^t (mod\ p) \]我們只需要分別求出 \(t=1 \sim m\) 時 \(ba^t\) 的值，將其存到雜湊表裡
然後從 \(1 \sim p/m\) 列舉 \(k\) ，判斷雜湊表中有沒有和 \(a^{km}\) 相等的數
當 \(m=\sqrt{p}\) 時最優
程式碼
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> #define rg register inline int read(){ rg int x=0,fh=1; rg char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9'){ if(ch=='-') fh=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0' && ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } return x*fh; } const int maxn=1e5+5,mod=1e5+3; int p,a,n,blo,h[maxn],tot=1; struct asd{ int nxt,val,num; }b[maxn]; void ad(int val,int id){ rg int now=val%mod; for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){ rg int cs=b[i].val; if(cs==val){ if(b[i].num<id) b[i].num=id; return; } } b[tot].val=val; b[tot].nxt=h[now]; b[tot].num=id; h[now]=tot++; } int cx(int val){ rg int now=val%mod; for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){ rg int cs=b[i].val; if(cs==val) return b[i].num; } return -1; } int main(){ memset(h,-1,sizeof(h)); p=read(),a=read(),n=read(); blo=sqrt(p)+1;//不要忘了加上一個1保證正確性 rg int now=n,cs=1,haha; for(rg int i=1;i<=blo;i++){ now=1LL*now*a%p; ad(now,i); cs=1LL*cs*a%p; } now=1; for(rg int i=1;i<=blo;i++){ now=1LL*now*cs%p; haha=cx(now); if(haha!=-1){ printf("%d\n",i*blo-haha); return 0; } } printf("no solution\n"); return 0; }
擴充套件BSGS演算法
求解
\[a^x \equiv b (mod\ p) \]其中 \(a,p\) 不一定互質
這個時候就不能再找 \(1 \sim \varphi(p)\) 的迴圈節了，因為不滿足尤拉定理的條件
我們把式子變一下，可以寫成
\[a \times a^{x-1}+kp=b \]的形式
根據裴蜀定理，當 \(gcd(a,p)|b\) 時方程有解，否則無解
所以在有解的情況下，我們可以把方程左右兩邊同時除以 \(gcd(a,p)\)，等號不變
此時原方程變為
\[\frac{a}{gcd(a,p)} \times a^{x-1}+k \frac{p}{gcd(a,p)}=\frac{b}{gcd(a,p)} \]把 \(\frac{p}{gcd(a,p)}\) 看成新的 \(p\)
把 \(\frac{b}{gcd(a,p)}\) 看成新的 \(b\)
同時記錄一下左邊的係數之積 \(\frac{a}{gcd(a,p)}\)，並不斷地提出 \(a\)
這樣在最後一定會出現 \(gcd(a,p)=1\) 的情況，用普通的 \(bsgs\) 即可
不要忘了把提出去的 \(a\) 的係數加上
程式碼
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define rg register
inline int read(){
rg int x=0,fh=1;
rg char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=1e5+5,mod=1e5+3;
int h[maxn],tot=1;
struct asd{
int nxt,val,num;
}b[maxn];
void ad(int val,int id){
rg int now=val%mod;
for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
rg int cs=b[i].val;
if(cs==val){
if(b[i].num<id) b[i].num=id;
return;
}
}
b[tot].val=val;
b[tot].nxt=h[now];
b[tot].num=id;
h[now]=tot++;
}
int cx(int val){
rg int now=val%mod;
for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
rg int cs=b[i].val;
if(cs==val) return b[i].num;
}
return -1;
}
//雜湊表
int bsgs(rg int a,rg int p,rg int n,rg int xs){
memset(h,-1,sizeof(h));
tot=1;
rg int blo=sqrt(p)+1;
rg int ac1=n,ac2=1,ac3=xs;
for(rg int i=1;i<=blo;i++){
ac1=1LL*ac1*a%p;
ad(ac1,i);
ac2=1LL*ac2*a%p;
}
for(rg int i=1;i<=blo;i++){
ac3=1LL*ac3*ac2%p;
ac1=cx(ac3);
if(ac1!=-1){
return i*blo-ac1;
}
}
return -1;
}
//普通bsgs
int gcd(rg int aa,rg int bb){
return bb==0?aa:gcd(bb,aa%bb);
}
int main(){
rg int a,p,n,haha=1,now,ans,cnt;
rg bool jud=0;
while(1){
a=read(),p=read(),n=read();
if(a==0 && p==0 && n==0) break;
haha=1,jud=0,cnt=0;
a%=p,n%=p;
if(n==1){
printf("0\n");
} else if(a==0 && n==0){
printf("0\n");
} else if(a==0){
printf("No Solution\n");
} else if(n==0){
while(1){
if(p==1){
printf("%d\n",cnt);
break;
}
now=gcd(a,p);
if(now==1 && p!=-1){
printf("No Solution\n");
break;
}
cnt++;
p/=now;
}//特判掉一些0的情況
} else {
while(1){
if(a==n){
ans=cnt+1;
break;
}//直接求出了一組解
now=gcd(a,p);
if(n%now!=0){
jud=1;
break;
}//無解
if(now==1){
ans=bsgs(a,p,n,haha);
if(ans==-1) jud=1;
ans+=cnt;
break;
}//用bsgs求解
cnt++,p/=now,n/=now;
haha=1LL*haha*(a/now)%p;
a%=p,n%=p;
}
if(jud){
printf("No Solution\n");
} else {
printf("%d\n",ans);
}
}
}
return 0;
}