java面試演算法筆記- 07 二叉樹的遞迴
07 二叉樹的遞迴
可以解決面試中絕大多數的二叉樹問題尤其是樹型dp問題
本質是利用遞迴遍歷二叉樹的便利性
二叉樹的遞迴套路
1）假設以X節點為頭，假設可以向X左樹和X右樹要任何資訊
2）在上一步的假設下，討論以X為頭節點的樹，得到答案的可能性（最重要） 常見分類： 與x無關，與x有關
3）列出所有可能性後，確定到底需要向左樹和右樹要什麼樣的資訊
4）把左樹資訊和右樹資訊求全集，就是任何一棵子樹都需要返回的資訊S
5）遞迴函式都返回S，每一棵子樹都這麼要求
6）寫程式碼，在程式碼中考慮如何把左樹的資訊和右樹資訊整合出整棵樹的資訊
難點：
1、假設分類
2、具體的可能性，需要什麼具體資訊
3、如何實現遞迴函式
1、base case
2、遞迴左右樹
3、加工該次如何返回要求資訊
題目
1、isBalance
給定一棵二叉樹的頭節點head，返回這顆二叉樹是不是平衡二叉樹
1、列舉全部可能
1、） 左樹
樹高
是否為平衡二叉樹
2、）右樹
樹高
是否為平衡二叉樹
2、需要資訊就是樹高，和是否為平衡二叉樹（畫遞迴樹）
Info process(Node head){
//base case
if(x == null){
return 0; //樹高為0
} 2、is滿二叉樹
給出一個head，返回這顆樹是否是滿二叉樹
method1、暴力解法
1、找到樹高height
2、遍歷樹節點個數nodes
3、 if( nodes == (1>>height - 1)) yes else no
method2、樹遞迴
舉例所有的可能性：
1、head左、右子樹，
樹高 ， 節點數
所以info為樹高、節點數
Info process(Node head){
//base case
if(head == null){
return new Info(0,0);
}
//遞迴
process(head.left);
process(head.right);
//處理此次的資訊
int height = max(process(head.left).height ,
process(head.right).height ) + 1;
int nodes = process(head(left).nodes
+process(head(right).nodes+1;
return new Info(height ,nodes);
}
void isFull(){
process(head);
if( nodes == (1>>height - 1))
yes else no;
}
3、is完全二叉樹
method1、暴力解法
情況1、有右孩子沒有左孩子
2、有左右孩子不雙全，後序又出現孩子的情況！
其餘情況都是滿足條件
使用寬度優先遍歷，之後使用flag1記錄左右孩子不雙全的情況,出現情況1、2就退出！
method2、樹遞迴方法
舉例所有答案
1、）滿二叉樹
2、）有缺口
1：左樹沒有撐滿，右樹為滿二叉樹
2：左樹撐滿，但是沒有到右樹，左右樹都是滿二叉樹
3：左樹撐滿，右樹為完全二叉樹
轉為數學表示式：
2.1 left.height - right.height = 1
左.isCBT(完全) 右.isFull(滿）
可能會需要的資訊： 樹的結點數，用於判斷isFull。但是沒有必要，因為，當左樹，右樹都是full，且高度差為0，該樹必定為滿二叉樹。base case 時，full 為 true。所以之前的題可以用這個思想去優化！！！
同理2.2 ,2.3都需要上述的height,isFull,isCBT的三個資訊
public static class Info {
public boolean isFull; //滿
public boolean isCBT; //完全
public int height; //高度
public Info(boolean full, boolean cbt, int h) {
isFull = full;
isCBT = cbt;
height = h;
}
}
Info process(Node head){
//base case
if(head == null){
return new
}
//遞迴
Info leftInfo = process(head.left);
Info rightInfo = process(head.right);
//處理次次訊息
int height = max(leftInfo.height ,
rightInfo.height ) + 1;
boolean isFull =false;
if(leftInfo.isFull
&&
rightInfo.isFull
&&
leftInfo.height
==
rightInfo.height){ isFull = true;}
isCBT = false ;
if(isFull){
isCBT = true;
}else{
//1
if( leftInfo.isCBT
&&
rightInfo.isFull
&&
leftInfo.height -
rightInfo.height == 1){isCBT = true;}
//2
if(leftInfo.isFull
&&
rightInfo.isFull
&&
leftInfo.height -
rightInfo.height == 1){isCBT = true;}
//3
if(leftInfo.isFull
&&
rightInfo.isCBT
&&
leftInfo.height -
rightInfo.height == 0{isCBT = true;}
}
return Info(isFull, isCBT, height);
}
4、返回最大距離
給定一棵二叉樹的頭節點head，任何兩個節點之間都存在距離，返回整棵二叉樹的最大距離
1、）最大距離 列舉答案所有可能假設分類：
1、與head無關
需要左最大距離，左max
需要右最大距離，右max
最大距離 = （左max，右max）
2、與head有關
換言之就是倆棵最深樹的距離
最大距離 = 左樹高+1+右樹高
樹高 = max(左數高 ，右樹高) + 1
3種情況
2、）需要資訊
1、樹的高度
2、點的最大距離
Info process(Node x){
//base case
if(x == null){
return new Info( 0 ,0);
}
//遞迴
Info(x.left);
Info(x.right);
//處理本次的資訊sf
height = max(左樹高，右樹高) + 1;
distance = 左樹高 + 右樹高 + 1 ;
maxDistance = max(distance,max(Info(x.left).maxDistance,Info(x.right).maxDistance))
return new Info(height , maxDistance)
}
剩下的舉例見演算法題！
5、公共父節點
給定一棵二叉樹的頭節點head，和另外兩個節點o1和o2。返回o1和o2的最低公共祖先
method1、暴力解
1、使用map記錄每個鍵值對<子節點，父節點>
2、使用set，將a的節點的所有父節點加入set
3、遍歷b的父節點，set.contain(b.父節點) 判斷是否有重複
method2、二叉樹遞迴
分析所有答案情況：
1、 o1,o2不在head
2、 o1,o2有一個在head的子樹上 （都沒有交匯）
3、o1,o2都在head的子樹上 （必有交匯點）
1）全在左子樹
2）全在右子樹
3）左右個一個
4）o1 or o2為head
需要的資訊：
樹上有無o1,o2,交匯點
public static class Info {
//第一個交會的父節點
public Node ans;
//發現01
public boolean findO1;
//發現02
public boolean findO2;
public Info(Node a, boolean f1, boolean f2) {
ans = a;
findO1 = f1;
findO2 = f2;
}
}
Info process(Node head){
//base case
if(head == null){
return new Info(null,false,false);
}
Info leftInfo = process(head.left);
Info rightInfo = process(head.right);
//3資訊
boolean findO1 = head == o1 || leftInfo.findO1 || rightInfo.findO1;
boolean findO2 = head == o2 || leftInfo.findO2 || rightInfo.findO2;
//3資訊整合才是上述簡要概括
}