「演算法筆記」二叉查詢樹

阿新 • • 發佈：2021-01-02

一、二叉查詢樹

二叉查詢樹（Binary Search Tree，下文簡稱 BST）是一種二叉樹的樹形資料結構。

樹上的每個節點帶有一個數值，稱為節點的“關鍵碼”（也可以叫其他的 QAQ）。對於樹中的任意一個節點：

該節點的關鍵碼不小於它的左子樹中任意節點的關鍵碼。

該節點的關鍵碼不大於它的右子樹中任意節點的關鍵碼。

即左子樹任意節點的值 \(<\) 根節點的值 \(<\) 右子樹任意節點的值。

滿足上述性質的二叉樹就是一棵 BST。顯然，BST 的中序遍歷是一個關鍵碼單調遞增的節點序列。

二、基本操作

約定：\(lc(u)\) 和 \(rc(u)\) 分別表示節點 \(u\)

的左子節點和右子節點，\(val(u)\) 表示節點 \(u\) 的關鍵碼。

1. BST 的建立

為了避免越界，減少邊界情況的判斷，我們在 BST 中額外插入關鍵碼為 \(+\infty\) 和 \(-\infty\) 的節點。僅由這兩個節點構成的 BST 就是一棵初始的空 BST。

簡便起見，在接下來的操作中，假設 BST 不含有關鍵碼相同的節點。

int tot,rt,lc[N],rc[N],val[N];    //rt 為根結點在陣列中的下標，lc(u) 和 rc(u) 分別表示 u 的左右子節點在陣列中的下標，val(u) 表示節點 u 的關鍵碼 
void build(){
    val[ 
++tot]=-1e18,val[++tot]=1e18;    //新建關鍵碼為負無窮和正無窮的節點（它們在陣列中的下標分別為 1、2） 
    rt=1,rc[1]=2;    //1 為根結點（對應關鍵碼為負無窮的節點），它的右兒子為關鍵碼為正無窮的節點 
}

2. BST 的檢索

在 BST 中檢索是否存在關鍵碼為 \(k\) 的節點。

設 \(p\) 為根結點，執行以下過程：

若 \(val(p)=k\)，則已找到。
若 \(val(p)>k\)：若 \(lc(p)\) 為空，則不存在 \(k\)；否則，在 \(p\) 的左子樹中遞迴進行檢索。
若 \(val(p)<k\)

：若 \(rc(p)\) 為空，則不存在 \(k\)；否則，在 \(p\) 的右子樹中遞迴進行檢索。

int find(int p,int k){    
    if(!p) return 0;    //檢索失敗 
    if(val[p]==k) return p;    //檢索成功 
    return k<val[p]?find(lc[p],k):find(rc[p],k);
}

3. BST 的插入

在 BST 中插入一個關鍵碼為\(k\)的節點。（假設目前 BST 中不存在關鍵碼為 \(k\) 的節點）

與 BST 的檢索類似。要走向的 \(p\) 的子節點為空，說明 \(k\) 不存在時，直接建立關鍵碼為 \(k\) 的新節點作為 \(p\) 的子節點。

void insert(int &p,int k){
    if(!p){val[++tot]=k,p=tot;return ;}    //注意 p 是引用，其父節點的 lc 或 rc 值會被同時更新 
    if(val[p]==k) return ;
    if(k<val[p]) insert(lc[p],k);
    else insert(rc[p],k);
}

4. BST 求前驅/後繼

以“後繼”為例。\(k\) 的後繼指在 BST 中關鍵碼大於 \(k\) 的節點中，關鍵碼最小的節點。

初始化 \(ans\) 為關鍵碼為 \(+\infty\) 的節點。然後，在 BST 中檢索 \(k\)。每經過一個節點，都嘗試更新 \(ans\)。

沒有找到 \(k\)。此時 \(k\) 的後繼就在已經經過的節點中，\(ans\) 即為所求。
找到了節點 \(p\) 使得 \(val(p)=k\)。若 \(rc(p)\) 為空，則 \(ans\) 即為所求；否則，從 \(rc(p)\) 出發，一直向左走，就找到了 \(k\) 的後繼。

int getnxt(int k){
    int ans=2,p=rt;    //val(2)=+∞
    while(p){
        if(val[p]==k){
            if(rc[p]>0){p=rc[p]; while(lc[p]>0) p=lc[p]; ans=p;}
            break;
        }
        if(val[p]>k&&val[p]<val[ans]) ans=p;    //嘗試更新 ans
        p=k<val[p]?lc[p]:rc[p]; 
    }
    return ans;
}

5. BST 的節點刪除

在 BST 中刪除關鍵碼為\(k\)的節點。

首先，在 BST 中搜索 \(k\)，得到節點 \(p\)。

若 \(p\) 沒有左子樹或沒有右子樹，則直接刪除 \(p\)，並令 \(p\) 的子節點代替 \(p\) 的位置，與 \(p\) 的父節點相連。

若 \(p\)左右子樹都有，則在 BST 中求出 \(k\) 的後繼節點 \(next\)。因為 \(next\) 沒有左子樹（因為 \(next\) 是從 \(p\) 的右子節點出發，一直向左走得到的），所以可以直接刪除 \(next\)，並令 \(next\) 的右子樹代替 \(next\) 的位置。最後，再讓 \(next\) 節點代替 \(p\) 節點，刪除 \(p\) 即可。舉個栗子：

應該還是比較好理解噠，具體見程式碼。

void del(int &p,int k){    //從子樹 p 中刪除值為 k 的階段 
    if(!p) return ;
    if(val[p]==k){    //已經檢索到值為 k 的階段 
        if(!lc[p]) p=rc[p];    //沒有左子樹，右子樹代替 p 的位置，注意 p 是引用 
        else if(!rc[p]) p=lc[p];    //沒有右子樹，左子樹代替 p 的位置，注意 p 是引用 
        else{    //既有左子樹又有右子樹
            int nxt=rc[p]; 
            while(lc[nxt]>0) nxt=lc[nxt];    //求後繼節點（從 p 的右子節點出發，一直向左走） 
            del(rc[p],val[nxt]);    //next 一定沒有左子樹，直接刪除 
            lc[nxt]=lc[p],rc[nxt]=rc[p],p=nxt;    //令節點 next 代替節點 p 的位置。注意 p 是引用 
        }
        return ;
    }
    if(k<val[p]) del(lc[p],k);
    else del(rc[p],k); 
}