IEEE754 浮點數的表示方法

阿新 • • 發佈：2020-12-17

技術標籤：C

原文地址：https://blog.csdn.net/K346K346/article/details/50487127

1.浮點數的儲存格式

浮點數（Floating-point Number）是對實數的一種近似表示，由一個有效數字（即尾數）加上冪數來表示，通常是乘以某個基數的整數次冪得到。以這種表示法表示的數值，稱為浮點數。表示方法類似於基數為10的科學計數法。利用浮點進行運算，稱為浮點計算，這種運算通常伴隨著因為無法精確表示而進行的近似或舍入。

計算機對浮點數的表示規範遵循電氣和電子工程師協會（IEEE）推出的 IEEE754 標準，浮點數在 C/C++ 中對應 float 和 double 型別，我們有必要知道浮點數在計算機中實際儲存的內容。

IEEE754 標準中規定 float 單精度浮點數在機器中表示用 1 位表示數字的符號，用 8 位表示指數，用 23 位表示尾數，即小數部分。對於 double 雙精度浮點數，用 1 位表示符號，用 11 位表示指數，52 位表示尾數，其中指數域稱為階碼。IEEE754 浮點數的格式如下圖所示。
這裡寫圖片描述
注意，IEE754 規定浮點數階碼 E 採用"指數ｅ的移碼-1"來表示，請記住這一點。為什麼指數移碼要減去 1，這是 IEEE754 對階碼的特殊要求，以滿足特殊情況，比如對正無窮的表示。

2.移碼

移碼（又叫增碼）是對真值補碼的符號位取反，一般用作浮點數的階碼，引入的目的是便於浮點數運算時的對階操作。

對於定點整數，計算機一般採用補碼的來儲存。正整數的符號位為 0，反碼和補碼等同於原碼。負整數符號位為1，原碼、反碼和補碼的表示都不相同，由原碼變成反碼和補碼有如下規則：
（1）原碼符號位為1不變，整數的每一位二進位制數位求反得反碼；
（2）反碼符號位為1不變，反碼數值位最低位加1得補碼。

比如，以一個位元組 8bits 來表示 -3，那麼[ − 3 ] 原 = 10000011 [-3]_原=10000011[−3]原=10000011，[ − 3 ] 反 = 11111100 [-3]_反=11111100[−3]反=11111100，[ − 3 ] 補 = 11111101 [-3]_補=11111101[−3]補=11111101，那麼 -3 的移碼就是[ − 3 ] 移 = 01111101 [-3]_移=01111101[−3]移=01111101。

如何將移碼轉換為真值 -3 呢？先將移碼轉換為補碼，再求值。

3.浮點數的規格化

若不對浮點數的表示作出明確的規定，同一個浮點數的表示就不是唯一的。例如( 1.75 ) 10 (1.75)_{10}(1.75)10可以表示成1.11 × 2 0 1.11\times 2^01.11×20，0.111 × 2 1 0.111\times2^10.111×21，0.0111 × 2 2 0.0111\times2^20.0111×22等多種形式。當尾數不為0時，尾數域的最高有效位為1，這稱為浮點數的規格化。否則，以修改階碼同時左右移動小數點位置的辦法，使其成為規格化數的形式。

3.1 單精度浮點數真值

IEEE754 標準中，一個規格化的 32 位浮點數 x 的真值表示為：
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(−1)S×(1.M)×2e
e = E − 127 e=E-127e=E−127
其中尾數域值是1.M。因為規格化的浮點數的尾數域最左位總是1，故這一位不予儲存，而認為隱藏在小數點的左邊。

在計算指數 e 時，對階碼E的計算採用原碼的計算方式，因此 32 位浮點數的 8bits 的階碼 E 的取值範圍是 0 到 255。其中當E為全 0 或者全 1 時，是 IEEE754 規定的特殊情況，下文會另外說明。

3.2 雙精度浮點數真值

64 位的浮點數中符號為 1 位，階碼域為 11 位，尾數域為 52 位，指數偏移值是 1023。因此規格化的 64 位浮點數 x 的真值是：
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(−1)S×(1.M)×2e
e = E − 1023 e=E-1023e=E−1023

4.浮點數的具體表示

4.1 十進位制到機器碼

（1）0.5
0.5 = ( 0.1 ) 2 0.5=(0.1)_20.5=(0.1)2，符號位S為0，指數為e = − 1 e=-1e=−1，規格化後尾數為1.0。

單精度浮點數尾數域共23位，右側以0補全，尾數域：
M = [ 000 0000 0000 0000 0000 0000 ] 2 M=[000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[00000000000000000000000]2

階碼E:
E = [ − 1 ] 移 − 1 = [ 0111 1111 ] 2 − 1 = [ 0111 1110 ] 2 E=[-1]_移-1=[0111\ 1111]_2-1=[0111\ 1110]_2E=[−1]移−1=[01111111]2−1=[01111110]2

對照單精度浮點數的儲存格式，將符號位S，階碼E和尾數域M存放到指定位置，得0.5的機器碼：
0.5 = [ 0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 ] 2 0.5=[0011\ 1111\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_20.5=[00111111000000000000000000000000]2。

十六進位制表示為0.5=0x3f000000。

（2）1.5
1.5 = [ 1.1 ] 2 1.5=[1.1]_21.5=[1.1]2，符號位為0，指數e = 0 e=0e=0，規格化後尾數為1.1。

尾數域Ｍ右側以0補全，得尾數域:
M = [ 100 0000 0000 0000 0000 0000 ] 2 M=[100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[10000000000000000000000]2

階碼E：
E = [ ０ ] 移 − 1 = [ 10000000 ] 2 − 1 = [ 01111111 ] 2 E=[０]_移-1=[1000 0000]_2-1=[0111 1111]_2E=[０]移−1=[10000000]2−1=[01111111]2

得1.5的機器碼：
1.5 = [ 0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000 ] 2 1.5=[0011\ 1111\ 1100\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_21.5=[00111111110000000000000000000000]2

十六進位制表示為1.5=0x3fc00000。

（3）-12.5
− 12.5 = [ − 1100.1 ] 2 -12.5=[-1100.1]_2−12.5=[−1100.1]2，符號位S為1，指數e為3，規格化後尾數為1.1001，

尾數域Ｍ右側以0補全，得尾數域:
M = [ 100 1000 0000 0000 0000 0000 ] 2 M=[100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2M=[10010000000000000000000]2

階碼E：
E = [ 3 ] 移 − 1 = [ 1000 0011 ] 2 − 1 = [ 1000 0010 ] 2 E=[3]_移-1=[1000\ 0011]_2-1=[1000\ 0010]_2E=[3]移−1=[10000011]2−1=[10000010]2

即-12.5的機器碼：
− 12.5 = [ 1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000 ] 2 -12.5=[1100\ 0001\ 0100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]_2−12.5=[11000001010010000000000000000000]2

十六進位制表示為-12.5=0xc1480000。

用如下程式驗證上面的推算，程式碼編譯執行平臺Win32+VC++ 2012：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	float a=0.5;
	float b=1.5;
	float c=-12.5;

	unsigned int* pa=NULL;
	pa=(unsigned int*)&a;
	unsigned int* pb=NULL;
	pb=(unsigned int*)&b;
	unsigned int* pc=NULL;
	pc=(unsigned int*)&c;
	
	cout<<hex<<"a=0x"<<*pa<<endl;
	cout<<hex<<"b=0x"<<*pb<<endl;
	cout<<hex<<"c=0x"<<*pc<<endl;
	
	return 0;
}

輸出結果：

a=0x3f000000
b=0x3fc00000
c=0xc1480000

驗證正確。

4.2 機器碼到十進位制

（1）若浮點數 x 的 IEEE754 標準儲存格式為 0x41360000，那麼其浮點數的十進位制數值的推演過程如下：

0 x 41360000 = [ 0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000 ] 0x41360000=[0\ 10000010\ 011\ 0110\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000]0x41360000=[01000001001101100000000000000000]

根據該浮點數的機器碼得到符號位S=0，指數e=階碼-127=1000 0010-127=130-127=3。

注意，根據階碼求指數時，可以像上面直接通過 "階碼-127"求得指數e，也可以將階碼 + 1 = 移碼階碼+1=移碼階碼+1=移碼，再通過移碼求其真值便是指數 e。比如上面階碼10000010 + 1 = 1000001 1 [ 移碼 ] = > 0000001 1 [ 補 ] = 3 ( 指數 e ) 10000010+1=10000011_{[移碼]}=>00000011_{[補]}=3(指數e)10000010+1=10000011[移碼]=>00000011[補]=3(指數e)。

包括尾數域最左邊的隱藏位1，那麼尾數 1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011。

於是有：
x = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = + ( 1.011011 ) × 2 3 = + 1011.011 = ( 11.375 ) 10 x=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.011011)\times2^3=+1011.011=(11.375)_{10}x=(−1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10

通過程式碼同樣可以驗證上面的推算：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	unsigned int hex=0x41360000;
	float* fp=(float*)&hex;
	cout<<"x="<<*fp<<endl;
	return 0;
}

輸出結果：

x=11.375

驗證正確。

5.浮點數的幾種特殊情況

（1）0 的表示
對於階碼為 0 或 255 的情況，IEEE754 標準有特別的規定：
如果階碼 E=0 並且尾數 M 是 0，則這個數的真值為 ±0（正負號和數符位有關）。

因此 +0 的機器碼為：0 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。
-0 的機器碼為：1 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000。

需要注意一點，浮點數不能精確表示 0，而是以很小的數來近似表示 0，因為浮點數的真值等於（以32bits單精度浮點數為例）：
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)^S\times(1.M)\times2^ex=(−1)S×(1.M)×2e
e = E − 127 e=E-127e=E−127
那麼 +0 的機器碼對應的真值為1.0 × 2 − 127 1.0\times2^{-127}1.0×2−127。同理，-0 機器碼真值為− 1.0 × 2 − 127 -1.0\times2^{-127}−1.0×2−127。

（2）+ ∞ +\infty+∞和− ∞ -\infty−∞的表示
如果階碼 E=255 並且尾數 M 全是0，則這個數的真值為 ±∞（同樣和符號位有關）。因此+ ∞ +\infty+∞的機器碼為：0 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。− ∞ -\infty−∞的機器嗎為：1 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000。

（3）NaN（Not a Number）
如果 E = 255 並且 M 不是0，則這不是一個數（NaN）。

6.浮點數的精度和數值範圍

6.1 浮點數的數值範圍

根據上面的探討，浮點數可以表示-∞到+∞，這只是一種特殊情況，顯然不是我們想要的數值範圍。

以 32 位單精度浮點數為例，階碼 E 由 8 位表示，取值範圍為 0-255，去除 0 和 255 這兩種特殊情況，那麼指數 e 的取值範圍就是 1-127=-126 到 254-127=127。

（1）最大正數
因此單精度浮點數最大正數值的符號位S=0，階碼E=254，指數e=254-127=127，尾數M=111 1111 1111 1111 1111 1111，其機器碼為：0 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

那麼最大正數值:
P o s M a x = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = + ( 1.11111111111111111111111 ) × 2 127 ≈ 3.402823 e + 38 PosMax=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)\times2^{127}\approx3.402823e+38PosMax=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127≈3.402823e+38
這是一個很大的數。

（2）最小正數
最小正數符號位S=0，階碼E=1，指數e=1-127=-126，尾數M=0，其機器碼為0 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

那麼最小正數為：
P o s M i n = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = + ( 1.0 ) × 2 − 126 ≈ 1.175494 e − 38 PosMin=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.0)\times2^{-126} \approx1.175494e-38PosMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.0)×2−126≈1.175494e−38

這是一個相當小的數。幾乎可以近似等於0。當階碼E=0，指數為-127時，IEEE754就是這麼規定1.0 × 2 − 127 1.0\times2^{-127}1.0×2−127近似為0的，事實上，它並不等於0。

（3）最大負數
最大負數符號位S=1，階碼E=1，指數e=1-127==-126，尾數M=0，機器碼與最小正數的符號位相反，其他均相同，為：1 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

最大負數等於：
N e g M a x = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = − ( 1.0 ) × 2 − 126 ≈ − 1.175494 e − 38 NegMax=(-1)^S\times1.M\times2^e=-(1.0)\times2^{-126} \approx-1.175494e-38NegMax=(−1)S×1.M×2e=−(1.0)×2−126≈−1.175494e−38

（4）最小負數
符號位S=0，階碼E=254，指數e=254-127=127，尾數M=111 1111 1111 1111 1111 1111，其機器碼為：1 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

計算得：
N e g M i n = ( − 1 ) S × 1. M × 2 e = + ( 1.11111111111111111111111 ) × 2 127 = − 3.402823 e + 38 NegMin=(-1)^S\times1.M\times2^e=+(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)\times2^{127}=-3.402823e+38NegMin=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127=−3.402823e+38

6.2 浮點數的精度

說到浮點數的精度，先給精度下一個定義。浮點數的精度是指浮點數的小數位所能表達的位數。

階碼的二進位制位數決定浮點數的表示範圍，尾數的二進位制位數表示浮點數的精度。以 32 位浮點數為例，尾數域有 23 位。那麼浮點數以二進位制表示的話精度是 23 位，23 位所能表示的最大數是2 23 − 1 = 8388607 2^{23}-1=8388607223−1=8388607，所以十進位制的尾數部分最大數值是 8388607，也就是說尾數數值超過這個值，float 將無法精確表示，所以 float 最多能表示小數點後 7 位，但絕對能保證的為 6 位，即 float 的十進位制的精度為 6~7 位。

64 位雙精度浮點數的尾數域 52 位，因2 52 − 1 = 4 , 503 , 599 , 627 , 370 , 495 2^{52}-1=4,503,599,627,370,495252−1=4,503,599,627,370,495，所以雙精度浮點數的十進位制的精度最高為 16 位，絕對保證的為 15 位，所以 double 的十進位制的精度為 15~16 位。

7.小結

本文操之過急，難免出現編輯錯誤和不當說法，請網友批評指正。不明之處，歡迎留言交流。對浮點數的加減乘除運算還未涉及，後續可能會去學習並記錄學習所得，與大家分享。

參考文獻

[1]百度百科.移碼
[2]百度知道.關於IEEE754標準浮點數階碼的移碼
[3] 白中英.計算機組成原理第四版[M].科學出版社:P16-30
[4]維基百科.浮點數

IEEE754 浮點數的表示方法

1.浮點數的儲存格式

2.移碼

3.浮點數的規格化

3.1 單精度浮點數真值

3.2 雙精度浮點數真值

4.浮點數的具體表示

4.1 十進位制到機器碼

4.2 機器碼到十進位制

5.浮點數的幾種特殊情況

6.浮點數的精度和數值範圍

6.1 浮點數的數值範圍

6.2 浮點數的精度

7.小結

參考文獻

IEEE754 浮點數的表示方法

IEEE754標準浮點數表示與舍入

IEEE754浮點數轉換

正確的比較浮點數的方法？

Java正確比較浮點數的方法

浮點數表示和運算

java中浮點數表示方式

IEEE754 浮點數

IEEE754浮點數

2022考研408-浮點數表示與運算

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浮點數在計算機中的表示

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1.浮點數的儲存格式

2.移碼

3.浮點數的規格化

3.1 單精度浮點數真值

3.2 雙精度浮點數真值

4.浮點數的具體表示

4.1 十進位制到機器碼

4.2 機器碼到十進位制

5.浮點數的幾種特殊情況

6.浮點數的精度和數值範圍

6.1 浮點數的數值範圍

6.2 浮點數的精度

7.小結

參考文獻

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