技術標籤：動態規劃

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定義：dp[i] [j]為字串第i個字元到第j個字元所含迴文子序列的數量

思路：此題用了區間DP的方法。先從小問題開始考慮，由於已知一個由單個字母組成的字串他的子字串必定只有一個，對於每一個字串，我們要讓他的規模擴大都需要在他的頭或尾加上一個字母，所以我們可以將問題從單字元組成的字串擴大到任意長度的字串。因此，在我們求一個字串有多少個迴文子序列的時候，可以將問題拆分為求兩個次大的字串，即最長字串去掉頭尾的子字串的迴文子序列的問題。

對於字串IJ，由於去掉開頭第一個元素和末尾第一個元素所造成的影響是不同的，所以dp[i][j] = dp[i+1][j]+dp[i

f ( x ) = { d p [ i + 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − 1 ] − d p [ i + 1 ] [ j − 1 ]        s[i]!=s[j] d p [ i + 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − 1 ] + 1        s[i]==s[j] f(x)=\left\{ \begin{aligned} dp[i+1][j]+dp[i][j-1]-dp[i+1][j-1]\:\:\:\:\:\:& \text{s[i]!=s[j]}\\ dp[i+1][j]+dp[i][j-1] +1\:\:\:\:\:\:& \text{s[i]==s[j]} \end{aligned} \right.

程式碼：

#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector> 
#include<map>
#include<set>
#include<iostream>
 

#include<string>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
typedef long long ll;  
using namespace std;
inline int read() {
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch>'9') { if (ch == '-')w = -1; ch = getchar(); }
	while (ch >= '0' && ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return s * w;
}//快讀 

const int  M  = 1005;
const int MOD = 10007;
int dp[M][M];
int main()
{	
	int T;
	string s;
	scanf("%d",&T);
	getchar();
	for(int t=1;t<=T;t++){
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		getline(cin,s);
		int ans=0,n=s.length();
		for(int i=0;i<n;i++) dp[i][i]=1;
		for(int len=1;len<n;len++){
			for(int i=0;i+len<n;i++){
				int j=i+len;
				if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i+1][j]+1)%MOD;
				else dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i+1][j]-dp[i+1][j-1]+MOD)%MOD;	
			}
		}
		printf("Case %d: %d\n",t,dp[0][n-1]);
	}
	return 0;
}