題目

題目連結：http://poj.org/problem?id=2311
一張 \(n\times m\) 的紙，兩人輪流行動，每次行動需要在所有紙中選擇一張的一行或者一列剪斷，變為兩張新的紙。先剪出 \(1\times 1\) 的紙的人獲勝。求先手是否必勝。

思路

很明顯的公平組合遊戲，對於一個 \(n\times m\) 的紙，它所有候機狀態為

由於 \(2\times 2,2\times 3,3\times 2,3\times 3\) 的紙時先手必敗，所以這些紙的 \(sg\) 值全部為 \(0\)。然後遞推取 \(\mathrm{mex}\) 即可。
時間複雜度 \(O(nm(n+m)+Q)\)。

程式碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=210;
int n,m,sg[N][N];
bool vis[N];

void dfs(int n,int m)
{
	if (sg[n][m]!=-1) return;
	for (int i=2;i<n-1;i++) dfs(i,m);
	for (int i=2;i<m-1;i++) dfs(n,i);
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for (int i=2;i<n-1;i++) vis[sg[i][m]^sg[n-i][m]]=1;
	for (int i=2;i<m-1;i++) vis[sg[n][i]^sg[n][m-i]]=1;
	sg[n][m]=0;
	for (int i=0;vis[i];i++) sg[n][m]=i+1;
}

int main()
{
	memset(sg,-1,sizeof(sg));
	sg[2][2]=sg[2][3]=sg[3][2]=sg[3][3]=0;
	for (int i=2;i<=200;i++)
		for (int j=2;j<=200;j++)
			dfs(i,j);
	while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
		if (sg[n][m]) printf("WIN\n");
			else printf("LOSE\n");
	return 0;
}