劍指offer.63題股票的最大利潤經典dp問題求解與優化

阿新 • • 發佈：2020-12-27

文章目錄

一、題目描述
二、貪心法
三、動態規劃方法
四、狀態轉移方程的優化

一、題目描述

本文所講解的是劍指offer第63題——股票的最大利潤，本題是一個經典的dp動態規劃問題。

示例 1:

輸入: [7,1,5,3,6,4]
輸出: 5
解釋: 在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣	出，最大利潤 = 6-1 = 5 。
 注意利潤不能是 7-1 = 6, 因為賣出價格需要大於買入價格。

示例 2:

輸入: [7,6,4,3,1]
輸出: 0
解釋: 在這種情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤為 0。

二、貪心法

思路：新建一個與原來prices長度一致的陣列Matrix，用於記錄該天買入股票能夠獲得的最大收益。然後依次遍歷當天之後最高的價格，並將該價格保存於陣列Matrix中。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0)
            return 0;
        int Matrix[]=new int[prices.length];
        int max;
        int length=Matrix.length;
        for 
(int i=length-2;i>=0;i--)
        {
            max=findMax(prices,i+1,length);
            Matrix[i]=(prices[i]>=prices[max])?0:(prices[max]-prices[i]);
        }
        max=0;
        for(int i=0;i<length;i++)
        {
            if(Matrix[i]>Matrix[max])
                max=i;
        } 

        return Matrix[max];
    }
    public int findMax(int []prices,int start,int end)
    {
        int max=start;
        for(int i=start+1;i<end;i++)
        {
            if(prices[i]>prices[max])
                max=i;
        }
        return max;
    }
}

三、動態規劃方法

狀態定義：設動態規劃列表 dp，dp[i]代表以 prices[i] 為結尾的子陣列的最大利潤（以下簡稱為前 i日的最大利潤）。
轉移方程：由於題目限定 “買賣該股票一次” ，因此前 i 日最大利潤 dp[i] 等於前 i - 1 日最大利潤 dp[i-1] 和第 i 日賣出的最大利潤中的最大值。
```
前i日最大利潤=max(前(i−1)日最大利潤,第i日價格−前i日最低價格)
```

即：

	dp[i] = max(dp[i - 1], prices[i] - min(prices[0:i]))

初始狀態： dp[0] = 0，即首日利潤為 0 ；
返回值： dp[n - 1]，其中 n 為 dp 列表長度。

程式碼如下所示：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0)
            return 0;
        int dp[]=new int[prices.length]; 
        int min=0;
        for(int i=1;i<prices.length;i++) {
            dp[i]=Math.max(dp[i-1],prices[i]-prices[min]);
            if(prices[i]<prices[min])
            	min=i;
        }
        int max=0;
        for(int i=0;i<dp.length;i++)
            if(dp[i]>dp[max])
                max=i;
        return dp[max];
    }
}

其中，min用於表示當前迴圈到的日期之前的最低價格。
演算法對比
從上圖的提交記錄也可以看出，採用動態規劃後，演算法執行時間有了質的提升。

四、狀態轉移方程的優化

效率優化，以下為Leetcode官方解法中的概述：
時間複雜度降低：前 i 日的最低價格min(prices[0:i]) 時間複雜度為 O(i)。而在遍歷 prices 時，可以藉助一個變數（記為成本 cost ）每日更新最低價格。優化後的轉移方程為：

	dp[i]=max(dp[i−1],prices[i]−min(cost,prices[i]))

空間複雜度降低：由於 dp[i] 只與 dp[i - 1], prices[i] , cost 相關，因此可使用一個變數（記為利潤 profit）代替 dp 列表。優化後的轉移方程為：

	profit=max(profit,prices[i]−min(cost,prices[i]))

複雜度分析：
時間複雜度 O(N)：其中 N 為 prices 列表長度，動態規劃需遍歷 pricesprices 。
空間複雜度 O(1) ：變數 cost和 profit使用常數大小的額外空間。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
     
        int cost = Integer.MAX_VALUE, profit = 0;
        for(int price : prices) {
            cost = Math.min(cost, price);
            profit = Math.max(profit, price - cost);
        }
        return profit;   
    }
}