幹啥用的？

對於一個森林，查詢鏈上資訊、

前置芝士：splay

P3690 【模板】Link Cut Tree （動態樹）

（開始大量盜圖）

首先確定LCT的一些基本概念

• 實邊：每個點最多連一條實邊（類似樹剖），這個邊是隨便連的，而且是可以變的、虛邊：不是實邊的邊
• 實鏈：對於每個實邊構成的鏈（這條鏈必須是從上到下深度遞增），開一個splay，存的是樹上的節點，按深度排序（中序遍歷為深度遞增），平衡樹上維護的資訊就是這一條鏈的資訊

對於每個節點，\(fa[x]\)表示父親（實鏈則表示splay上的父親，否則表示虛鏈上的父親），\(son[x][0/1]\)表示splay上的左右兒子，不記錄虛鏈的兒子

這樣判斷是否為當前這個splay的根的方法就變為

inline bool is_root(int x){return son[fa[x]][0]!=x&&son[fa[x]][1]!=x;}

這一棵樹

按splay劃分就是

因為有翻轉操作（之後會提到哪裡會用），所以需要用到文藝平衡樹

int son[N][2],val[N],sum[N],tag[N],fa[N];
inline void update(int x){sum[x]=sum[son[x][0]]^sum[son[x][1]]^val[x];}
inline void rev(int x){swap(son[x][1],son[x][0]);tag[x]^=1;}
inline void pushdown(int x){
	if(!tag[x])return;tag[x]=0;
	if(son[x][0])rev(son[x][0]);
	if(son[x][1])rev(son[x][1]);
}
inline int id(int x){return x==son[fa[x]][1];}
inline void rotate(int x){
	int f=fa[x],gf=fa[f],idf=id(f),idx=id(x);
	if(!is_root(f))son[gf][idf]=x;fa[x]=gf;
	son[f][idx]=son[x][idx^1];son[x][idx^1]=f;
	if(son[f][idx])fa[son[f][idx]]=f;fa[f]=x;
	update(f);update(x);
}
int stac[N],top;
inline void splay(int x){
	top=0;int cur=x;stac[++top]=x;
	while(!is_root(cur))cur=fa[cur],stac[++top]=cur;
	while(top)pushdown(stac[top--]);//從上到下下放標記
	while(!is_root(x)){
		if(!is_root(fa[x])){
			if(id(fa[x])==id(x))rotate(fa[x]);
			else rotate(x);
		}
		rotate(x);
	}
}
 

\(access(x)\)

LCT基本操作，讓\(x\)到根的路徑上為一條實鏈

目標：

依次完成：

把自己變為根，斷掉原來的兒子，向上

把自己變為根，替換掉原來的兒子，向上

把自己變為根，替換掉原來的兒子，向上

把自己變為根，替換掉原來的兒子，向上

直到合併到根為止

inline void access(int x){
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),son[x][1]=y,update(x);
}

其餘操作都在\(splay\)和\(access\)基礎上

\(make\_root(x)\)

讓\(x\)成為根

先打通\(x\)到根的路徑，然後讓\(x\)

但是這時的\(splay\)是按深度遞增的，沒有變，要變成按深度遞減，那麼就需要把這棵樹翻轉一下

inline void make_root(int x){
	access(x);	splay(x);	rev(x);
}

\(find\_root(x)\)

找到\(x\)所在樹的根

先打通\(x\)到根的路徑，找到這個splay的深度最低的點即可（注意\(pushdown\)）

inline int find_root(int x){
	access(x);	splay(x);	pushdown(x);
	while(son[x][0])x=son[x][0],pushdown(x);
	splay(x);
	return x;
}

\(link(x,y)\)

先讓\(x\)成為根，判斷一下\(y\)的根是不是\(x\)

是的話就已經在一棵樹內，不用連邊

否則連一條虛邊

inline void link(int x,int y){
	make_root(x);
	if(find_root(y)==x)return ;
	fa[x]=y;
}

\(cut(x,y)\)

同樣的先把\(x\)作為根，判斷一下\(y\)在不在\(x\)的子樹內

注意這裡呼叫了\(find\_root(y)\)，若\(y\)在\(x\)的子樹內，那麼\(x\)到\(y\)的鏈已經打通，\(x,y\)在同一顆\(splay\)內，且這棵\(splay\)的根為\(x\)

那麼如果\(y\)與\(x\)有連邊，那麼\(y\)的深度等於\(dep[x]+1\)，又因為splay維護一條鏈的資訊，這個\(dep[x]+1=dep[y]\)的點事唯一的，即\(y\)一定是\(x\)的右兒子，且\(y\)沒有左兒子（不存在在\(x,y\)之間的點）

inline void cut(int x,int y){
	make_root(x);
	if(find_root(y)!=x||fa[y]!=x||son[y][0])return;
	fa[y]=son[x][1]=0;update(x);
	return ;
}

\(query(x,y)\)

以\(x\)為根，連上\(x,y\)的邊，以\(x/y\)為splay的根

這樣跟的資訊就是整條鏈的資訊

inline int query(int x,int y){
	make_root(x);access(y);splay(y);
	return sum[y];
}

\(modify(x,val)\)

修改資訊

即把\(x\)作為其所在\(splay\)的根，然後跟新自己的\(val\)，最後\(update\)即可

inline void modify(int x,int v){
	splay(x);val[x]=v;update(x);
}