Link-Cut Tree
實鏈剖分
就是可以隨意亂剖，想幹嘛幹嘛的剖分。我們面對動態樹問題（樹形會變化的問題），用實鏈剖分可以靈活的維護。然後因為實鏈剖分比較靈活，我們類比重鏈剖分，也考慮使用一種資料結構維護這個樹上資訊。論靈活度，相比線段樹來說，splay 是更好的選擇。
LCT
也叫 link-cut tree ，用於維護動態森林。具體來說可以被稱為一種輔助森林，裡面有很多輔助樹，每個輔助樹由很多 splay 樹組成，而每個 splay 維護樹上的一條實鏈。一般來說比較擅長維護路徑資訊，處理子樹的資訊似乎不太行？
而LCT有以下的一些性質：
1.具體考慮一下 splay 怎麼把實鏈分開？實際上就是對於有虛邊相連的兩條實鏈，它們的 splay 的關係是 兒子認父親，父親不認兒子
2.每個點只包含在 LCT 中的一個 splay 中。
3.LCT 中的 splay 保證中序遍歷下深度嚴格遞增。因為每條實鏈都是按照原樹剖分得到的結果。因此深度相同的點也不應當出現在同一棵 splay 中。
具體操作
splay基操
由於我們 LCT 的性質1，我們判斷一個點是否存在於當前 splay需要換一下，除此之外沒有任何區別。
我們判斷一個點是不是當前 splay 的根的方法並非看它是否擁有父節點，而是看其父節點是否認它。那麼我們判斷一個點是否存在於當前 splay 就是看它的兒子是否為當前 splay 的根；若為根，則不為 splay 中節點，反而反之。
別的都沒什麼區別，不多說了，直接上程式碼（可以看看一些細節變化）：
inline void change(int x){//按修改 std::swap(lc(x),rc(x) ); } inline void pushdown(int x){//標記下傳 if(t[x].rev){ t[lc(x)].rev^=1; t[rc(x)].rev^=1; change(lc(x) ); change(rc(x) ); t[x].rev^=1; } } inline void pushup(int x){//向上維護資訊 t[x].sz=(t[lc(x)].sz+t[rc(x)].sz)+1; } inline bool Get(int x){//判斷所屬兒子型別 return x==rc(fa(x) ); } inline bool isroot(int x){//判斷是否為根 return lc(fa(x) )!=x and rc(fa(x) )!=x; } inline void rotate(int x){ int y=fa(x),z=fa(y);bool ty=Get(x); if(!isroot(y) ) t[z].ch[Get(y)]=x; //由於isroot的判定方法，所以提前 t[y].ch[ty]=t[x].ch[ty^1]; if(t[x].ch[ty^1]) fa(t[x].ch[ty^1])=y; t[x].ch[ty^1]=y; fa(y)=x;fa(x)=z; pushup(y);pushup(x); } void update(int x){//提前下傳tag if(!isroot(x) ) update(fa(x) ); pushdown(x); } inline void splay(int x){ update(x);//先下傳好標記，不然旋轉的時候下傳顯然是錯的 for(int f=fa(x);f=fa(x),!isroot(x);rotate(x) ){ if(!isroot(f) ) rotate(Get(x)==Get(f)?f:x); } }
比較需要注意的是我們的 change 函式不應該根據當前點是否具有翻轉標記來決定，因為我們是一傳了標記就給它換了，所以之後如果再次打了翻轉標記應當換回來。
access（連通）
核心函式之一。
我們使用這個操作，使得整個輔助樹內的根與當前點 \(x\) 直接開出一條實鏈（我們形象地稱之為 ✟昇天✟）
具體操作如何？我們先從 \(x\) 點開始，使之升至當前 splay 的根節點，並且斷開一條連向右兒子的邊。然後我們取到其父節點以跳到上方的 splay，然後斷右兒子，連向我們剛剛跳過來的地方。如此反覆直到到達根節點。
為什麼要這樣搞呢？因為當我們要新連出一條實邊，我們必然需要在原樹上斷開一條原先的實邊。而斷開右兒子的原因便是因為右兒子的深度由於性質3一定更大，而我們顯然不應該斷開一條連向原樹中父親的邊來換一條實邊，否則這直接就不是樹了。因此我們斷開右兒子來為下方的連通騰出位置。
inline int access(int x){
int p;
for(p=0;x;p=x,x=fa(x) ){
splay(x);rc(x)=p;pushup(x);
}
return p;
}
你發現我這個函式有返回值，這個返回值是我們連通的過程中由虛變實的最後一個連線點，也就是最後一條虛變實的邊中更高的那一個點。我們看看這東西有沒有什麼性質。
我們發現在做完一次 access 的情況下，我們再做一次，那麼這個返回值是兩點的 LCA。因為在我們第一次已經打通了一條實鏈的情況下，其他點要去開根一點會要通過一條虛邊進入這條實鏈，而且經過之後不會再經過虛邊，所以可以得到 LCA。所以這個可以用來求 LCA。
而且顯然，在一個點做完 access 之後，就變成整個 splay 中中序遍歷最後遍歷的點。因為我們第一次就直接把它的右兒子斷開了。
makeroot（換根）
核心函式之二。
發現如果我們需要維護一條深度不單調遞增的路徑，由於性質3這條路徑的點不可能出現在同一棵 splay 下。
那我們怎麼辦！要寄了嗎？.jpg
因此這個函式存在的意義可知矣。這個操作能將一個節點換為當前的根。發現只需要連通 \(x\) 與根，並 splay \(x\) 即可。但是我們發現還有一點問題，這個時候的 \(x\) 僅僅是名義上坐在根的位置上，但是並沒有以他為根的性質。
我們發現如果我們把樹看成從父親向兒子的有向圖，在原樹上我們需要將根到 \(x\) 路徑上的邊方向反向。這啟發了我們，當我們做完 access 後，這個點變為中序遍歷最後遍歷的點。我們要使其變為根，就是使其變為中序遍歷最先遍歷的點，那麼我們直接給它打上翻轉標記，由於其沒有右子樹，只有左子樹，我們翻轉過後就使其正好成為中序遍歷最先遍歷的點了，達到目的。
inline void makeroot(int x){
access(x);splay(x);
t[x].rev^=1;change(x);
}
find（尋根）
找到 \(x\) 所在輔助樹的根。
直接 access(x) 然後 splay(x) 就可以得到 splay 樹最高的位置，然後一直跳左兒子找到深度最低的點即為答案。
別忘了找跳左兒子的時候傳標記已經最後將根旋到 splay 的根以保證複雜度。
inline int find(int x){
access(x);splay(x);
while(lc(x) ){
pushdown(x);
x=lc(x);
}
splay(x);
return x;
}
link（連線）
直接拿出這個條邊端點的一個，把它 makeroot 然後直接把它父親接到另一個即可。
有的時候需要檢驗操作是否合法，用 find 即可。
inline void link(int x,int y){
makeroot(x);
if(find(y)==x) return;
fa(x)=y;
}
split（抽離）
抽出維護路徑 \(x\) 到 \(y\) 的splay。
把 \(x\) makeroot，然後 access \(y\) 即可。
inline void split(int x,int y){
makeroot(x);access(y);splay(y);
}
把 \(y\) 提起來之後直接訪問 \(y\) 就可以訪問路徑資訊了。
注意最後這個 splay 不可省去，因為 \(y\) 還在老底下沒上來， \(x\) 也被 access 給創下去了。
cut（切割）
如果合法的話操作非常簡單，我們直接 split，此時 \(x\) 為原樹的根，\(y\) 為輔助樹的根，那麼 \(x\) 在輔助樹上肯定為 \(y\) 的左兒子。直接斷開。
inline void cut(int x,int y){
split(x,y);fa(x)=lc(y)=0;
pushup(y);
}
否則我們考慮怎麼判斷不合法。
我們首先把 \(x\) makeroot，然後用 find 判斷連通性，此時 \(x\) 被拉至根，我們要判斷他們直接是否有連邊，只需要滿足 \(x\) 為 \(y\) 的父親，並且 \(y\) 沒有左子樹（這樣可知 \(x\) 與 \(y\) 深度差 \(1\) ）。最後更新一下資訊就好。
inline void cut(int x,int y){
makeroot(x);
if(find(y)!=x or fa(y)!=x or lc(y) ) return;
fa(y)=rc(x)=0;
pushup(x);
}
其實也可以：
inline void cut(int x,int y){
makeroot(x);
if(find(y)!=x or t[x].sz>2) return;
fa(y)=rc(x)=0;
pushup(x);
}
因為如果有邊相連，它們 access(y) 之後肯定只有這兩個點了。
主要操作就這些了。
（那差不多就沒啦？）
參考程式碼
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define filein(a) freopen(#a".in","r",stdin)
#define fileot(a) freopen(#a".out","w",stdout)
#define sky fflush(stdout);
#define gc getchar
#define pc putchar
namespace IO{
inline bool blank(const char &c){
return c==' ' or c=='\n' or c=='\t' or c=='\r' or c==EOF;
}
inline void gs(char *s){
char ch=gc();
while(blank(ch) ) {ch=gc();}
while(!blank(ch) ) {*s++=ch;ch=gc();}
*s=0;
}
inline void gs(std::string &s){
char ch=gc();s+='#';
while(blank(ch) ) {ch=gc();}
while(!blank(ch) ) {s+=ch;ch=gc();}
}
inline void ps(char *s){
while(*s!=0) pc(*s++);
}
inline void ps(const std::string &s){
for(auto it:s)
if(it!='#') pc(it);
}
template<class T>
inline void read(T &s){
s=0;char ch=gc();bool f=0;
while(ch<'0'||'9'<ch) {if(ch=='-') f=1;ch=gc();}
while('0'<=ch&&ch<='9') {s=s*10+(ch^48);ch=gc();}
if(ch=='.'){
db p=0.1;ch=gc();
while('0'<=ch&&ch<='9') {s=s+p*(ch^48);p*=0.1;ch=gc();}
}
s=f?-s:s;
}
template<class T,class ...A>
inline void read(T &s,A &...a){
read(s);read(a...);
}
};
using IO::read;
using IO::gs;
using IO::ps;
const int N=1e5+3;
struct LCT{
#define lc(x) t[x].ch[0]
#define rc(x) t[x].ch[1]
#define fa(x) t[x].fa
struct node{
int fa,ch[2],val;
int sz,sum;
bool rev;
}t[N];
inline void change(int x){
std::swap(lc(x),rc(x) );
}
inline void pushdown(int x){
if(t[x].rev){
t[lc(x)].rev^=1;
t[rc(x)].rev^=1;
change(lc(x) );
change(rc(x) );
t[x].rev=0;
}
}
inline void pushup(int x){
t[x].sz=(t[lc(x)].sz+t[rc(x)].sz)+1;
t[x].sum=(t[lc(x)].sum^t[rc(x)].sum)^t[x].val;
}
inline bool Get(int x){
return x==rc(fa(x) );
}
inline bool isroot(int x){
return lc(fa(x) )!=x and rc(fa(x) )!=x;
}
inline void rotate(int x){
int y=fa(x),z=fa(y);bool ty=Get(x);
if(!isroot(y) ) t[z].ch[Get(y)]=x;
//由於isroot的判定方法，所以提前
t[y].ch[ty]=t[x].ch[ty^1];
if(t[x].ch[ty^1]) fa(t[x].ch[ty^1])=y;
t[x].ch[ty^1]=y;
fa(y)=x;fa(x)=z;
pushup(y);pushup(x);
}
void update(int x){
if(!isroot(x) ) update(fa(x) );
pushdown(x);
}
inline void splay(int x){
update(x);
for(int f=fa(x);f=fa(x),!isroot(x);rotate(x) ){
if(!isroot(f) ) rotate(Get(x)==Get(f)?f:x);
}
}
inline int access(int x){
int p;
for(p=0;x;p=x,x=fa(x) ){
splay(x);rc(x)=p;pushup(x);
}
return p;
}
inline void makeroot(int x){
access(x);splay(x);
t[x].rev^=1;change(x);
}
inline int find(int x){
access(x);splay(x);
while(lc(x) ){
pushdown(x);
x=lc(x);
}
splay(x);
return x;
}
inline void link(int x,int y){
makeroot(x);
if(find(y)==x) return;
fa(x)=y;
}
inline void split(int x,int y){
makeroot(x);access(y);splay(y);
}
inline void cut(int x,int y){
makeroot(x);
if(find(y)!=x or t[x].sz>2) return;
fa(y)=rc(x)=0;
pushup(x);
}
#undef lc
#undef rc
#undef fa
}s;
int main(){
filein(a);fileot(a);
int n,m;
read(n,m);
for(int i=1;i<=n;++i){
read(s.t[i].val);
}
for(int i=1;i<=m;++i){
int op;read(op);
if(op==0){
int x,y;
read(x,y);
s.split(x,y);
printf("%d\n",s.t[y].sum);
}else if(op==1){
int x,y;
read(x,y);
s.link(x,y);
}else if(op==2){
int x,y;
read(x,y);
s.cut(x,y);
}else{
int x,y;
read(x,y);
s.splay(x);
s.t[x].val=y;
s.pushup(x);
}
}
return 0;
}