技術標籤：Dp似神仙SOSDP多項式全家桶

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中文題面

題意

給定函式 F ( a ) , G ( b ) , H ( c ) F(a),G(b),H(c) F(a),G(b),H(c)，分別返回 f , g , h f,g,h f,g,h陣列的第 a , b , c a,b,c a,b,c項(從零起)

求 R [ l ] = ∑ F ( a ) ∗ G ( b ) ∗ H ( c ) R[l]=\sum F(a)*G(b)*H(c) R[l]=∑F(a)∗G(b)∗H(c)

其中滿足 ( a ∣ b ∣ c ) & l = = l (a|b|c)\&l==l

首先我們可以用 S O S D P SOSDP SOSDP快速求 R [ l ] = ∑ a & l = = l F ( a ) R[l]=\sum\limits_{a\&l==l}F(a) R[l]=a&l==l∑​F(a)

讓我們試著來求一個 W ( i ) = ∑ ( a ∣ b ∣ c ) = = i F ( a ) ∗ G ( b ) ∗ H ( c ) W(i)=\sum\limits_{(a|b|c)\ ==i}F(a)*G(b)*H(c) W(i)=(a∣b∣c)==i∑​F(a)∗G(b)∗H(c)

那麼其實答案就是 R ( l ) = ∑ l & i = = l W ( i ) R(l)=\sum\limits_{l\&i==l}W(i)

然後一遍 S O S D P SOSDP SOSDP即可得出解,問題在於我們似乎無法處理出這樣的 F G FG FG

哦,抱歉,說錯了, W ( i ) W(i) W(i)其實是一個或卷積的形式,只需要用 F W T FWT FWT即可快速得到解^_^

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = (1<<21),mod = 1e9+7;
int n,mx,F[N],G[N],H[N],ans;
void OR(
 
int f[],int type)
{
	for(int mid=2,k=1;mid<=mx;mid<<=1,k<<=1)
	for(int i=0;i<mx;i+=mid )
	for(int j=0;j<k;j++)
		f[i+j+k] = ( f[i+j+k]+f[i+j]*type )%mod;
}
void mul(int a[],int b[] ){ for(int i=0;i<mx;i++)	a[i] = a[i]*b[i]%mod; }
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	mx = (1<<n);
	for(int i=0;i<mx;i++)	scanf("%lld",&F[i]);
	for(int i=0;i<mx;i++)	scanf("%lld",&G[i]);
	for(int i=0;i<mx;i++)	scanf("%lld",&H[i]);
	OR(F,1); OR(G,1); mul( F,G ); OR(F,-1);
	OR(F,1); OR(H,1); mul( F,H ); OR(F,-1); 
	for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=mx-1;j>=0;j--)
		if( !(j&(1<<i)) )	F[j] = ( F[j]+F[j|(1<<i)] )%mod;
	for(int i=0;i<mx;i++)	ans = ( ans+F[i] )%mod;
	cout << (ans+mod)%mod;
} 

然後其實也可以不用 F W T FWT FWT

觀察到求 R [ l ] = ∑ F ( a ) ∗ G ( b ) ∗ H ( c ) R[l]=\sum F(a)*G(b)*H(c) R[l]=∑F(a)∗G(b)∗H(c)

考慮每一個三元組 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)的貢獻,會貢獻所有是 a ∣ b ∣ c a|b|c a∣b∣c的子集的 l l l

但是這樣太慢,所以我們考慮把 a ∣ b ∣ c a|b|c a∣b∣c相等的三元組放一起算貢獻

把 F , G , H F,G,H F,G,H都做一遍 S O S D P SOSDP SOSDP然後累乘得到 W ( i ) W(i) W(i)

現在 W ( i ) W(i) W(i)表示的是所有 a ∣ b ∣ c a|b|c a∣b∣c是 i i i子集的權值和

為了得到 W ( i ) W(i) W(i)表示 a ∣ b ∣ c = = i a|b|c==i a∣b∣c==i的權值和

我們倒著做 S O S D P SOSDP SOSDP,也就是把之前的加變成減

於是得到 W ( i ) W(i) W(i)表示 a ∣ b ∣ c a|b|c a∣b∣c是 i i i的權值和

下面有兩種計算方式,一是和上面做法一樣去做一遍子集 S O S D P SOSDP SOSDP

或者容斥,因為三元組或為 x x x的貢獻次數是所有 x x x的子集

所以 x x x貢獻 2 d ( x ) 2^{d(x)} 2d(x)次

這裡的貢獻包含了 x x x子集的貢獻,所以可以根據 1 1 1的個數來容斥

掛個別人的程式碼,不想寫了，思維很巧妙,做法很複雜

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