選課 / T3

題目大意

給你 n 個位置 n 個數，第 i 個不能放在第 i 個位置和第 i+1 個位置（如果 i 是 n 就是第 n 個和第 1 個）
給你 n，要你求放的方案數。

思路

不難這是一個環之類的，考慮先弄序列的。

你把每個數不能放的位置列出來。
\((1,2),(2,3),(3,4),(4,5),...\)

感覺搞不能放的很麻煩，考慮正難則反，考慮求至少有 \(k\) 個不合法的有多少情況。
然後搞出來正反正反容斥一下即可。

然後你考慮怎麼求至少有 \(k\) 個不合法的。
你考慮從前面列出來的東西來搞，考慮在這些括號裡面選 \(k\) 個括號裡面選一個，而且選的都是要不同的數。
那不難想到括號內的兩個數不能同時選，相同的兩個數也不能同時選。（相同的數是隔著括號相鄰的）

那總的來說，把括號刪掉，就變成了不能選相鄰的數！
那問題就變成了在 \(2n\) 個數中選 \(k\) 個，不能選相鄰的數。
那你考慮插板法，在 \(2n-k\) 個數的間隙中插入板，插入 \(k\) 個板，那就是 \(C_{2n-k+1}^k\)。

然後考慮從序列變成環，要怎麼搞。
考慮破環為鏈，那破的地方有 \(2n\) 個，所以搞出來的方案數要乘 \(2n\)。
然後第一個數的前面和最後一個數的後面是同一個間隙，所以間隙少了一個，就是 \(C_{2n-k}^k\)。
但是斷開的地方可能也被當乘了間隙，而它應該是最前面和最後面那個共同的間隙，而選到這個的只有一種情況，而一共有 \(2n-k\)

那總的來說，要至少有 \(k\) 個不合法，它的方案數就是：
\(\dfrac{C_{2n-k}^k*2n}{2n-k}*(n-k)!\)
化簡一下，就是：
\(\dfrac{2n(n-k)!(2n-k-1)!}{k!(2n-2k)!}\)

然後預處理階乘和它的逆元，就可以 \(O(nq)\) 求了。

（然而這題有陰間的遞推式，鬼知道要怎麼算出來，好像也沒有講怎麼搞出來的，都是打標用電腦找規律，就不用了）

程式碼

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

int n;
ll jc[200001], inv[200001], ans, op;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = (re * x) % mo;
		x = (x * x) % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

ll W(int k, int n) {
	return jc[2 * n - k - 1] * jc[n - k] % mo * (2 * n) % mo * inv[k] % mo * inv[2 * n - 2 * k] % mo;
}

int main() {
	jc[0] = 1;//預處理
	for (int i = 1; i <= 200000; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
	inv[200000] = ksm(jc[200000], mo - 2);
	for (int i = 200000 - 1; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mo;
	
	while (scanf("%d", &n) != EOF) {
		if (n <= 2) printf("0\n");
			else {
				ans = jc[n];
				op = -1;//直接套公式，容斥算
				for (int i = 1; i <= n; i++, op = -op) {
					ans = (ans + (op * W(i, n))) % mo;
					if (ans < 0) ans += mo;
				}
				printf("%lld\n", ans);
			}
	}
	
	return 0;
}