53.最大子序和-Java實現

阿新 • • 發佈：2021-01-25

技術標籤：LeetCode 資料結構動態規劃 leetcode 演算法分治演算法

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題目描述

給定一個整數陣列 nums ，找到一個具有最大和的連續子陣列（子陣列最少包含一個元素），返回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
輸出: 6
解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

進階:

如果你已經實現複雜度為 O(n) 的解法，嘗試使用更為精妙的分治法求解。

解法1：貪心演算法/動態規劃（√）

動態轉移方程：

f[i] = max{ nums[i] , f[i-1] + nums[i] }

初始條件：

f[0] = nums[0]

程式碼：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int pre = 0;
        int sum = nums[0];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 如果前i項的和小於第i項的值 則將pre置為當前項的值
            pre = Math.max(pre + nums[ 
i] , nums[i]);
            sum = Math.max(sum , pre);
        }
        return sum;
    }
}

時間複雜度：O(n)，空間複雜度：O(1)

執行用時：1ms

解法2：分治演算法（√）

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        return maxSubArraySum(nums, 0, nums.length-1);
    }

    /**
     * 計算[left,right]的最大子序和
     * @param nums
     * @param left
     * @param right
     * @return
     */ 

    public static int maxSubArraySum(int[] nums, int left, int right) {
    
        if (left == right) {
            return nums[left];
        }
        int mid = (left + right) / 2;
        // 如果最大子序和落在mid左邊，計算[left,mid]的最大子序和
        int maxLeftSum = maxSubArraySum(nums, left, mid);
        
        // 如果最大子序和落在mid右邊，計算[mid+1,right]的最大子序和
        int maxRightSum = maxSubArraySum(nums, mid + 1, right);
        
        // 如果最大子序和跨中點mid
        int maxMidSum = findMaxCrossingSubArray(nums, left, mid, right);
        
        // 返回左、中、右三個值中最大值即為最大子序和
        return Math.max(Math.max(maxLeftSum,maxRightSum),maxMidSum);
    }

    /**
     * 計算跨中點mid的最大子序和，分別計算從mid到左和從mid+1到右的最大子序和相加
     * @param nums
     * @param left
     * @param mid
     * @param right
     * @return
     */
    public static int findMaxCrossingSubArray(int[] nums, int left, int mid, int right) {
    
        //類似尋找最大最小值的題目，初始值一定要定義成理論上的最小最大值(可能為負陣列）
        // maxLeftBorderSum ：從 mid 往左找到的最大子序和
        // maxRightBorderSum ：從 mid+1 往右找到的最大子序和
        int maxLeftBorderSum = Integer.MIN_VALUE, maxRightBorderSum = Integer.MIN_VALUE, sum = 0;
        
        for (int i = mid; i >= left; --i) {
            sum +=nums[i];
            maxLeftBorderSum = Math.max(maxLeftBorderSum,sum);
        }
        
        // 計算從mid+1 到right的最大子序和，sum清零
        sum = 0;
        for (int i = mid + 1; i <= right; ++i) {
            sum+=nums[i];
            maxRightBorderSum = Math.max(maxRightBorderSum,sum);
        }
        return maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum;
    }
}

時間複雜度：O(n)，空間複雜度：O(logn）

執行用時：3ms

「解法2」相較於「解法1」來說，時間複雜度相同，但是因為使用了遞迴，執行的時間略長，空間複雜度也不如解法1優秀，而且難以理解。那麼這種方法存在的意義是什麼呢？
對於這道題而言，確實是如此的。但是仔細觀察「解法2」，它不僅可以解決區間 [0, n - 1]，還可以用於解決任意的子區間 [l, r] 的問題。如果我們把 [0, n - 1]分治下去出現的所有子區間的資訊都用堆式儲存的方式記憶化下來，即建成一顆真正的樹之後，我們就可以在 O(logn) 的時間內求到任意區間內的答案，我們甚至可以修改序列中的值，做一些簡單的維護，之後仍然可以在 O(logn) 的時間內求到任意區間內的答案，對於大規模查詢的情況下，這種方法的優勢便體現了出來。這棵樹就是——線段樹。