技術標籤：演算法

我們知道通過dp的演算法可以求出一段序列的最長上升子序列，時間複雜度為o(n^2)。下面來介紹一種o(nlogn)的演算法來求LIS。

設一段序列的長度為n，我們需要的是一個輔助陣列f，長度最長為n，其實際長度是動態的，也表徵了最長上升子序列的長度。
對於f[i]，其儲存的是對於已經掃描過的序列中，所有長度為i的上升子序列的最後一個數的最小值。如：
有序列1 4 2 3
所有長度為2的上升子序列有1 2，1 3.
那麼f[2] = 2。

這樣做，可以保證對於同樣長度的上升子序列，我們給出的是其尾元素的最小值，那麼這樣在掃描後續序列時，就必定更有可能構造出最長上升子序列。

首先可以證明整個f陣列是單調遞增的，即對於任意的索引i < j，都有 f[i] < f[j]。反證法如下：
若f[i] == f[j]，對於f[j]對應的長度為j的最長上升子序列，其倒數第2個元素值一定小於f[j]，那麼這個倒數第2個元素值可以作為f[i]，則有f[i] < f[j]。
同理可證f[i] > f[j]的情形。

繼續分析：
如已掃描序列1 4 2 3，根據我們的定義，有f[3] = 3（序列1 2 3的尾元素），再往後掃描時，如果是4，即序列為1 4 2 3 4時，就可以根據f[3] = 3（3 < 4）往後延長一個LIS長度（即f長度變為4），而且使得f[4] = 4

或者從反面考慮：如果我們f[i]儲存的不是長度為i的最長上升子序列的尾元素，如f[3] = 5（存1 4 5的尾元素），那麼掃描後續元素就無法最大化地延長上升序列，無法達到題目要求。

注意在思考問題時，從集合的角度考慮問題，即每個f[i]首先是關於所有長度為i的上升序列的函式，其次，f[i]存的是這些上升序列尾元素的最小值。

那麼在掃描原陣列的時候，對於第i個數，可以根據前i-1個數得到的f陣列的結果，對f陣列進行長度或內容的更新，具體表現如下：（設f陣列的實際長度為cnt）
1、若a[i] > f[cnt]

2、若a[i] <= f[cnt]，則無法使得上升序列變長，因為f[cnt]是長度為cnt的所有上升序列尾元素的最小值。因此，它的作用是，更新對應的一個f。顯然，對於從後往前第一個小於a[i]的f[j]而言，a[i]可以接到f[j]所代表的那個最優上升序列後面，從而更新f[j+1]（長度為j+1的上升序列的尾元素最小值）。因為從剛才的敘述可以知道，原f[j+1] >= a[i]。故這樣a[i]的作用是直接改變f的一個恰當元素值，同時為最終cnt的更新作準備（通過將一個f的元素值變小，使得後面元素接到前面更具有可能）。

AC程式碼：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
int n;
int a[N],f[N];
int cnt = 0;
int Find(int x){
	int l = 1,r = cnt;
	while(l < r){
		int mid = l+r >> 1;
		if(f[mid] >= x)
			r = mid;
		else
			l = mid+1;
	}
	
	return l;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	
	f[++cnt] = a[1];
	for(int i = 2;i <= n;i++){
		if(a[i] > f[cnt])
			f[++cnt] = a[i];
		else
			f[Find(a[i])] = a[i];
	}
	printf("%d\n",cnt);
	return 0;
}