技術標籤：ACM演算法

遞迴（dfs深度優先搜尋）

遞迴演算法一般用於問題可抽象為一下公式的情況：

背景問題：給你一個長度為3的環形陣列，請你往裡面填數字1–20，要求不能重複，而且相鄰兩個數的和為質數。 請輸出所有的可能方案。

這種問題的首先想到的是用for迴圈堆疊，這樣的思路很清晰，但是卻很冗長並且不適宜解決資料更大的問題。

對於長度為3，用3個for迴圈來解決，程式碼如下：

bool vis[20];
int ans = 0;
int a[20];

bool isprime(int x)
{
    for(int i = 2;i <= sqrt(x);i++)
    {
        if
 
(x % i == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    for(int i = 1;i <= 20;i++)
    {
        if(vis[i])
        {
            continue;
        }
        vis[i] = true;
        a[1] = i;
        for(int j = 1;j <= 20;j++)
        {
            if(
 
vis[j])
            {
                continue;
            }
            if(!isprime(a[1] + j))
            {
                continue;
            }
            vis[j] = true;
            a[2] = j;
            for(int k = 1;k <= 20;k++)
            {
                if(vis[k])
                {
                    continue
 
;
                }
                if(!isprime(a[2] + k) || !isprime(a[1] + k))
                {
                    continue;
                }
                ans++;
            }
            vis[j] = false;
        }
        vis[i] = false;
    }
    return 0;
}

現在把這些步驟寫為遞迴，通過分析，寫的每一個迴圈都要遵從以下的步驟：

1.排除非法情況
2.記錄相關資訊
3.下一層操作
4.消除vis

這也是深搜模板的套路，先判斷是否達到目標，若達到了目標，判斷當前的狀態是否計入答案，沒達到就列舉可能的狀態，記錄本輪的選擇，進入下一狀態。

下面給出上述問題的遞迴（dfs）操作：

bool vis[20];
int ans = 0;
int a[20];
int n;

bool isprime(int x)
{
    for(int i = 2;i <= sqrt(x);i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void dfs(int now)
{
    if(now == n + 1)
    {
        if(isprime(a[n] + a[1]))
        {
            ans++;
        }
        return;
    }
    for(int i = 1;i <= 20;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            if(now > 1 && !isprime(a[now - 1] + i))
            {
                continue;
            }
            vis[i] = true;
            a[now] = i;
            dfs(now + 1);//迴圈n次
            vis[i] = false;
    }
    }
}

可以類比斐波那契數列的操作，因為要進行n次的for迴圈操作，因此搜尋終止的條件就是now == n + 1 ，並且對於每一次的搜尋的for迴圈的操作都是一樣的，先用vis[i]判斷是否用過這個數，並且在now > 1的情況下，上一個符合要求的數在這一迴圈也要符合要求（指和為質數）。然後記錄資訊，繼續向深裡迴圈，最後記得處理乾淨，即vis[i] = false。

這樣就完成了深搜的操作，感覺重要的還是把原過程搞清楚，不然寫遞推會一塌糊塗，不要忘記操作就行。