技術標籤：圖論計算幾何YbtOJ凸包Flody

正題

題目連結:https://www.ybtoj.com.cn/contest/116/problem/3

題目大意

給出兩個大小分別為 n , m n,m n,m的點集 A , B A,B A,B。

求出 B B B的一個最小子集使得該子集的凸包包含了所有點集 A A A中的點。

無解輸出 − 1 -1 −1

2 ≤ n ≤ 1 0 5 , 3 ≤ m ≤ 500 2\leq n\leq 10^5,3\leq m\leq 500 2≤n≤105,3≤m≤500

解題思路

選出的子集肯定是一個凸包，凸包就是相鄰點連邊之間的半平面交。

所以可以理解為我們要找到一些點對使得它們的半平面包含點集 A A

如果 x − > y x->y x−>y的半平面（左右都一樣，反過來就是了）包含點集 A A A，那麼 x x x向 y y y連邊，那麼問題就變為了求圖的最小環。這個可以 F l o y d Floyd Floyd解決。

如何判斷一個半平面是否包含點集 A A A？

一個類似旋轉卡殼的想法是對於給出的這個半平面的斜率，我們在點集 A A A的凸包上找到兩個節點卡住它。（如下圖）

然後判斷這兩個點是否在半平面內就好了。

挺麻煩的，再簡化一下，我們將 A A A的凸包用 x x x座標最大/小的兩個節點分成兩半，那麼凸包就變成了一個上凸殼和一個下凸殼。

然後我們要找到的兩個點，這個兩個點肯定是一個在上一個在下的，我們根據半平面的斜率在上下凸殼上面二分一下就好了。

時間複雜度 O ( n + m 2 log ⁡ n + m 3 ) O(n+m^2\log n+m^3) O(n+m2logn+m3)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,M=510;
struct point{
	ll x,y;
	point(ll xx=0,ll yy=0)
	{x=xx;y=yy;return;}
}g[N],u[N],v[N],s[N]
 
,p[M];
ll n,m,uc,vc,f[M][M],h[M][M],ans;
point operator+(point a,point b)
{return point(a.x+b.x,a.y+b.y);}
point operator-(point a,point b)
{return point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
ll operator*(point a,point b)
{return a.x*b.y-a.y*b.x;}
ll solve(point *a,ll n,ll op){
	ll top;s[top=1]=a[1];
	for(ll i=2;i<=n;i++){
		while(top>1&&(s[top]-s[top-1])*(a[i]-s[top-1])*op>=0)top--;
		s[++top]=a[i];
	}
	for(ll i=1;i<=top;i++)
		a[i]=s[i];
	return top;
}
bool check(point a,point b){
	ll op=1;
	if(a.x>b.x)swap(a,b),op=-1;
	ll l=1,r=uc-1;
	while(l<=r){
		ll x=(l+r)>>1;
		if((b-a)*(u[x+1]-u[x])>=0)l=x+1;
		else r=x-1; 
	}
	if((b-a)*(u[l]-a)*op<0)return 0;
	l=1,r=vc-1;
	while(l<=r){
		ll x=(l+r)>>1;
		if((b-a)*(v[x+1]-v[x])<=0)l=x+1;
		else r=x-1;
	}
	if((b-a)*(v[l]-a)*op<0)return 0;
	return 1;
}
bool cmp(point a,point b)
{return a.x<b.x;}
signed main()
{
	freopen("lo.in","r",stdin);
	freopen("lo.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	ll L=1,R=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&g[i].x,&g[i].y);
	sort(g+1,g+1+n,cmp);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll w=(g[n]-g[1])*(g[i]-g[1]);
		if(w>=0)u[++uc]=g[i];
		if(w<=0)v[++vc]=g[i];
	}
	uc=solve(u,uc,1);
	vc=solve(v,vc,-1);
	for(ll i=1;i<=m;i++)
		scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y);
	for(ll i=1;i<=m;i++)
		for(ll j=1;j<=m;j++){
			if(i==j){h[i][j]=f[i][j]=1e9;continue;}
			h[j][i]=f[i][j]=check(p[i],p[j])?1:1e9;
		}
	for(ll k=1;k<=m;k++)
		for(ll i=1;i<=m;i++)
			for(ll j=1;j<=m;j++)
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
	ans=1e9;
	for(ll i=1;i<=m;i++)
		for(ll j=1;j<=m;j++)
			ans=min(ans,f[i][j]+h[i][j]);
	if(ans>=1e9)puts("-1");
	else printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}