一些定義

PL

樹的路徑長度，即樹根到每個葉節點的距離之和。

WPL

樹的帶權路徑長度，即樹根到每個葉節點的距離與每個葉結點權值的乘積之和。

哈夫曼樹，也叫 Huffman 樹，就是 WPL 最短的一種最優多叉樹。

哈夫曼樹的構造

對於哈夫曼樹的構造，我們以二叉哈夫曼樹為例：

我們每次選擇兩棵根節點權值最小的樹，將它們的根節點合併成一棵新樹。

原來的兩個根節點成為為新樹的根節點的兒子。新樹的根節點權值為合併的兩個根節點權值之和。

假設我們要構造一棵初始有五個節點的二叉哈夫曼樹，權值分別為 \(1,2,4,6,8\)，則它們的構建過程如下：

（我騰訊文件沒有 VIP 所以下載不了高清圖片，只能將就看吧 qwq）

注意，哈夫曼樹中允許多個點有相同的權值。

關於 K 叉哈夫曼樹的構造

假設我們要構造一棵 \(k\) 叉哈夫曼樹 \((k>2)\)。

根據以上對哈夫曼樹構造的原理，可以發現，這個構造方法是基於貪心的思想。每次取出最小的 \(k\) 個節點來合併成新的節點。

但是如果最後一步合併時，可選節點的數量不足 \(k\) 個，就會出現合併後的哈夫曼樹根節點的兒子數小於 \(k\) 的情況。

此時它就不是一顆 WPL 最小的最優 \(k\) 叉樹。因為此時我們隨便取一個葉節點當做根節點的兒子，都可使 \(\sum (w_i\times l_i)\) 的值變小。

所以我們要滿足 \((k-1)\mid (n-1)\)

而要滿足這個條件，我們可以不斷向圖中加入權值為 \(0\) 的節點。顯然 \(0\) 節點一定會先合併，這樣可以使有權節點的深度降低。

哈夫曼編碼

哈夫曼編碼的原則是：編碼從葉子節點到根節點，譯碼從根節點到葉子節點。

但其實這句話對下面的內容並沒有什麼幫助。

我們還是以二叉哈夫曼樹為例。

對於一棵二叉哈夫曼樹，我們從根節點開始，對左子樹編碼 \(0\)，對右子樹編碼 \(1\)，直到遍歷完整棵樹。

此時我們再從根節點出發，將路徑上的編碼排列起來，一直到某個根節點，此時的編碼串就是該根節點的哈夫曼編碼。

舉個例子，我們有一串電文 AMCADEDDMCCAD

我們統計每個字元的出現次數，可得到如下資料：

\(\begin{array}{ccc} E & M & C & A & D \\ \hline 1 & 2 & 3 & 3 & 4\\ \end{array}\)

我們將每種字元的出現次數作為節點的權值，可建造一棵如圖所示的二叉哈夫曼樹：

所以可得到各個字元的哈夫曼編碼：

\(\begin{array}{c|cc} E&001\\ M&000\\ C&01\\ A&10\\ D&11\\ \end{array}\)

根據哈夫曼編碼的定義，我們也可以看出，每種字元的編碼長度之和為 PL，而每種字元的編碼長度與其出現次數的乘積之和為 WPL。

此時的 PL 不一定是最短的，但 WPL 一定是最短的，只有這樣才能使原串翻譯後的 01 串最短。

當然上面只是說二叉哈夫曼樹，其編碼也只包含兩種字元。假若要用 \(k\) 進位制數來表示一個字串，我們可以將其建成 \(k\) 叉哈夫曼樹 \((k\ge 2)\)。

對於程式碼的具體實現，結合下面的例題來說。

例題

[NOI2015] 荷馬史詩

有一個由 \(n\) 種字元組成的字串，給出這 \(n\) 種字元的出現次數，用 \(k\) 進位制數來表示這個字串。
求出這個 \(k\) 進位制數的最短長度，並求出此時編碼最長的字元的最短編碼長度。

NOI 出模板題（

直接根據每種字元的出現次數建 \(k\) 叉哈夫曼樹。

第一問就是 WPL 的長度，第二問就是在樹中深度最大的字元的深度減一。

至於實現，我們運用優先佇列儲存每個節點的權值和深度，並按權值為第一關鍵字，深度為第二關鍵字從大到小排序。

首先將每個節點自己作為一棵樹，放到優先佇列中，並不斷加入 \(0\) 節點直到滿足條件為止。

每次取出 \(k\) 個節點來合併，同時統計 WPL。最後優先佇列中只剩一個節點，輸出統計結果與其深度減一即可。

struct node{
  int w,h;
  bool operator < (const node &a) const{
    return  a.w==w?h>a.h:w>a.w;
  }  
};

signed main(){
  n=read();k=read();priority_queue<node> q;
  for(int i=1,w;i<=n;i++) w=read(),q.push((node){w,1});
  while((q.size()-1)%(k-1)) q.push((node){0,1});
  while(q.size()>=k){
    int h=-1,w=0;
    for(int i=1;i<=k;i++){
      node t=q.top();q.pop();
      h=max(h,t.h);w+=t.w;
    }
    ans+=w;
    q.push((node){w,h+1});
  }
  printf("%lld\n%lld\n",ans,q.top().h-1);
  return 0;
}

寫在後面

沒啦，啥都沒啦。