AGC043F Jewelry Box【線性規劃，費用流】
阿新 • • 發佈：2021-07-07
因為要滿足差分約束，顯然確定了每家店的珠寶之後必定按重量從小到大的順序裝盒。
將同一家店的珠寶按重量排序，設 \(X_{i,j}\) 表示 \((i,0),(i,1),\cdots,(i,j-1)\) 的購買數量，則限制為：
- \(0=X_{i,0}\le X_{i,1}\le\cdots\le X_{i,k_i}=A\)；
- \(X_{i,j+1}-X_{i,j}\le C_{i,j}\)；
- 對於限制 \((U,V,W)\) 和珠寶 \((U,j)\)，設 \(k\) 是最大滿足 \(S_{V,k}\le S_{U,j}+W_i\)，則 \(X_{U,j}\le X_{V,k}\)。
最小化 \(\sum P_{i,j}(X_{i,j+1}-X_{i,j})\)
根據 dxm 論文，我們可以把它寫成：
\[\min\left\{\sum_{i,j}(\infty\max(X_{i,j}-X_{i,j+1},0)+\infty\max(X_{i,j+1}-X_{i,j}-C_{i,j},0)+P_{i,j}\max(X_{i,j+1}-X_{i,j},0))+\sum_{u,v,w,j}\infty\max(X_{u,j}-X_{v,k},0)+\sum_i(\infty X_{i,0}+\infty\max(X_{i,0}-X_{i,k_i}+A,0))\right\} \]好長好長好長好長好長
對偶一下再取反就是最小費用流：所有的 \(c\max(X_v-X_u-w,0)\)
然後就做完一組資料的情況了。觀察一下發現 \(A\) 的係數一定是總流量 \(F\)，所以答案即為 \(\min\{AF-C\}\)，其中 \(C\) 表示將 \(A\) 看做 \(0\) 時跑的最小費用流答案，所以我們跑出所有 \((F,C)\) 的對應關係，根據費用流性質，這是下凸的分段一次函式，用最小費用最大流的方法計算出折線端點和斜率，詢問的時候二分斜率對應位置即可。
複雜度大概是 \(\sum P_{i,j}\) 次最短路，但是衝就完了。