我們首先來看一個問題：

給定三個正整數a，b，m(a<10^9, b<10^18, 1<m<10^9)，求 a^b%m。

如果用迴圈來寫，不斷乘上a再取模，時間複雜度為O(b)。很容易超時。

所以我們考慮快速冪演算法。它基於二分的思想，也被稱為二分冪。

遞迴寫法

1.如果b是奇數，那麼有：\(a^b = a*a^{b-1}\)

2.如果b是偶數，那麼有：\(a^b = a^{b/2}*a^{b/2}\)

typedef long long LL;
// 遞迴求a^b%m
LL binaryPow(LL a,LL b,LL m){
    if (b == 0) return 1;

    if (b%2 == 1) return a * binaryPow(a,b-1,m) % m;
    else{
        LL mul = binaryPow(a,b >>1,m);
        return mul * mul % m;
    }
}
 

• 如果初始時a>=m，需要執行函式時先對a%m。
• 如果m==1，直接在函式外部特判為0。

迭代寫法

把b寫成二進位制的形式，那麼b可以寫成若干二次冪之和。

例如13的二進位制形式為1101， \(13=2^3+2^2+2^0,a^{13}=a^8\ *a^4\ *a^1\) 。

不難推出：當b的二進位制的第i（從0開始）位是1時，初值ans=1要乘上\(a^{2{^i}}\)。由於我們每次迭代時令a平方

（\(a=a^{2i}\)），所以列舉當前第i位時，a已經迭代到初始a的\(2^i\)次方，如果是1，就令ans乘上a。

typedef long long LL;
//  迭代求a^b%m
LL binaryPow(LL a,LL b,LL m){
    LL ans = 1;
    while (b > 0){
        // 等價於b%2 == 1
        if (b&1) ans = ans*a%m;
        a = a*a%m;
        b >>1;
    }
    return ans;
}
 

在實際應用場景，兩種寫法效率差不多。

大數取模公式總結：

參考資料1：部落格園

參考資料2：《演算法筆記》