定義

我們稱一張無向圖 \(S\) 為二分圖當且僅當可以將 \(S\) 劃分為兩個集合 \(A, B\) 使得 \(S\) 中的邊僅存在於 \(A, B\) 之間。

判定

不難發現定義等價於原圖不存在奇環，可以使用黑白染色簡單判定。

性質

• 二分圖最大匹配 \(=\) 二分圖最小點覆蓋

證明：後者為邊權為 \(1\) 的最小標頂和，由線性規劃那一套理論，兩者互為對偶問題。

• 二分圖最大獨立集 \(= n -\) 二分圖最大匹配

證明：可以發現二分圖的任意一個點覆蓋的補集即為一個獨立集，因此獨立集與點覆蓋構成雙射。所以有二分圖最大獨立集 \(= n -\) 二分圖最小點覆蓋顯然成立，由性質一立得。

• 二分圖最大獨立集 \(=\) 二分圖最小邊覆蓋

證明：令前者為 \(p\) 後者為 \(q\)，分兩個方面證明這個結論：\(q \ge p\) 且 \(q = p\) 可以取到。

先考慮前者：顯然最大獨立集之間互相不存在邊，因此想要使用邊覆蓋最大獨立集顯然至少需要 \(p\) 條邊，因此 \(q \ge p\)。

再考慮後者：考慮一個最大匹配，由性質二可知為 \(n - p\)。我們選擇最大匹配當中的邊覆蓋最大匹配中的點，剩下的點隨意覆蓋，可以得到：\(q' = n - p + n - 2(n - p) = p\)。