這兩場考試大部分的題都考過，然鵝有的 \(trick\) 忘了，有的當時咕了（雖然現在還咕著）

首先是 \(v\) 這道題需要加一個小優化，對於較小的狀態應該直接用陣列記錄，較大的再用 map 記

然後就是這個神奇的 \(dp\) 題：

A. 玩具

考場上只會暴搜，胡了一個 hash 還給掛了
正解是神奇的 \(dp\)

首先核心是 \(f[i][j]\) 表示 \(i\) 個點的樹深度為 \(j\) 的概率，那麼期望即概率乘深度之和
考慮這個怎麼轉移：
如果想辦法從 \(f[i-1][k]\) 轉移，可以發現這個狀態是不完備的，因為不知道 \(i-1\) 個點深度為 \(k\) 時各個深度的點各有多少個，那麼加在每個深度的概率是不相同的
那麼考慮這棵樹最後加入的點是樹頂那個點
因為樹頂那個點加入前整個的深度是固定的為 \(j-1\)

那麼問題又來了，如果加入的是樹頂，那麼原來所有的子樹將形成一個森林，顯然還需要一個變數維護森林的狀態
那麼設 \(g[i][j]\) 表示 \(i\) 個點的森林深度為 \(j\) 的概率，那麼有

接著考慮 \(g\) 的轉移，可以想到從一部點形成的樹外加另外的點形成森林來轉移
假設樹的大小為 \(k\)，那麼一部分是 \(f[i][k]\)，發現另一部分的深度是不確定的，只要小於等於 \(j\) 即可

說明狀態設計的有問題，那麼設計成深度小於等於 \(j\) 就好了
\(f\) 的轉移還是一樣的
然後再看 \(g\) 的轉移，發現還是有 \(bug\)

這裡需要注意看似上一種情況共可以向 \(i-1\) 個點連邊，為什麼分母上是 \(i\) 呢？
因為漏掉了一種情況就是新加的這個點其實是可以自成一棵樹的，所以沒有問題

這回終於可以轉移 \(g\) 了：

最後是統計答案，由於狀態設計的是字首和形式，那麼答案需要減一下，即：