中國剩餘定理簡析（python實現）
阿新 • • 發佈：2021-07-20
簡述中國剩餘定理CRT，使用python進行演算法實現
中國剩餘定理CRT
正整數m1,m2,...,mk兩兩互素，對b1,b2,...,bk的同餘式組為
\[\begin{cases} x \equiv b_1\; mod \;m_1\\ x \equiv b_2\; mod \;m_2\\ \quad\quad\vdots\\ x \equiv b_k\; mod \;m_k\\ \end{cases} \]在mod M
\[M = \prod_{i = 1}^{k}m_i \]的情況下有唯一解
\[x = (\sum_{i=1}^k b_iM_iM'_i)\;mod\;M \]其中
\[M_i = \frac{M}{m_i} \]\[M'_i = M_i^{-1}\;mod\;m_i \]python程式碼實現：
import gmpy2 def crt(b,m): #判斷是否互素 for i in range(len(m)): for j in range(i+1,len(m)): if gmpy2.gcd(m[i],m[j]) != 1: print("m中含有不是互餘的數") return -1 #乘積 M = 1 for i in range(len(m)): M *= m[i] #求M/mi Mm = [] for i in range(len(m)): Mm.append(M // m[i]) #求Mm[i]的乘法逆元 Mm_ = [] for i in range(len(m)): _,a,_ = gmpy2.gcdext(Mm[i],m[i]) Mm_.append(int(a % m[i])) #求MiM'ibi的累加 y = 0 for i in range(len(m)): print(Mm[i] * Mm_[i] * b[i]) y += (Mm[i] * Mm_[i] * b[i]) y = y % M return y