luoguP1280 尼克的任務

想了一個下午加半個早上，但做出來感覺十分舒爽！

本篇題解作者腦抽把分鐘都寫成天了，沒啥大問題，就不改了。

時間複雜度：O(N+K)

dp[i]表示：若該天空閒（可以接新任務），該天之前的最大空閒時間。若該天不可能空閒，則為-1

dp[i]初值均為-1(i>1),dp[1]初值為0：第一天必然空閒。（以下說的所有“空閒”都是指該天能接新任務）

設task[i][j]為：以第i天作為開始時間的第j個任務。我的程式裡用陣列模擬連結串列儲存，剩下來很多空間。（所以我的程式碼裡沒有這個陣列，這裡為了方便表示才寫的）。同時，len[i]表示第i天有len[i]個任務開始。

我們模擬的都是該天空閒的情況，若任何情況下該天都不可能空閒，dp[i]就是-1，這個點後面還會講到。

• 若第i天空閒：
  • 若第i天有新任務可以接：遍歷各任務，任務j：dp[i+t[j]]=max(dp[i+t[j]],dp[i])
  • 若第i天沒有新任務可以接：dp[i+1]=max(dp[i]+1,dp[i+1])

所求：dp[n+1]

思路說明

（真的遇到過很多問題啊）

首先我們第一個想到的就是拿子問題設dp陣列。每一個狀態由兩個量覺得：空閒/不空閒，第幾天。值設為子問題答案。

所以設dp[i][j]為第i天前的最大空閒天數，j=0則當天空閒，j=1則當天不空閒。

這裡為什麼要設是第i天前

我們發現：

• 若第i天j=0：
  • 若無任務可以接：dp[i+1][0]=max(dp[i][0]+1,dp[i+1][0])。也就是第i天摸魚了，空閒時間+1
  • 若有任務可以接，接了任務j,任務的持續時間為t[j]：dp[i+t[j]]=max(dp[i+t[j]],dp[i])。
• 若第i天j=1：他能做什麼呢？他什麼也做不了，沒法接任務的狀態更新不了任何東西

審視完以後，我們發現不空閒的狀態不能接任務，也並非最終答案（最終答案應該是dp[n+1][0]），所以，我要他有何用？

我們簡化dp陣列為：第i天空閒狀況下，第i天前的最長休息時間。

然後作者就這樣寫了，一直沒過，我們漏掉一個很重要的東西：第i天一定是在空閒狀況下。

如果這一天根本就不可能空閒下來，比如第一天有兩個任務，1_3，14，那麼2,3兩天一定空不下來。

我們還神奇的發現，如果第i天空閒，接了一個長度為t的任務，任務持續於i~i+t-1天的。也就是說i+t這一天一定空閒。同樣的，第i天空閒又沒有任務可接，i+1天也同樣是空閒的。

抽象出來，我們可以建一個perm的bool陣列，僅當perm為true的時候才可以由此狀態更新後面的狀態，perm為false就直接跳過。而某狀態可以把它所更新的狀態的perm都設成true。

事實上後來還能簡化掉perm，因為設perm和更新dp都是去操作同一個狀態，如果第i天沒接任務就都是設i+1，接了任務就是設i+t。那我們直接刪掉perm，把dp陣列初值都賦成-1,然後dp[1]單獨賦成0。第一天肯定是能接任務的。

程式碼實現：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=10007;
int n,k;
int edges[N],fst[N],nxt[N],dp[N];
void input(){//用連結串列儲存任務，接在任務的開始時間處。edges[N]裡儲存持續時間，因為作者是學儲存圖的時候學的連結串列，所以習慣這樣寫
	cin>>n>>k;
	int p,t;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		cin>>p>>t;
		edges[i]=t;
		if(!fst[p]){
			fst[p]=i;
			continue;
		}
		int f=fst[p];
		while(nxt[f]){
			f=nxt[f];
		}
		nxt[f]=i;
	}
}
void dpfun(){
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	dp[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dp[i]==-1) continue;
		int f=fst[i];
		if(!f){
			dp[i+1]=max(dp[i]+1,dp[i+1]);
			continue;
		} 
		dp[i+edges[f]]=max(dp[i+edges[f]],dp[i]);
		while(nxt[f]){
			f=nxt[f];
			dp[i+edges[f]]=max(dp[i+edges[f]],dp[i]);
		}
	}
}
void output(){
	cout<<dp[n+1];
}
int main(){
	input();
	dpfun();
	output();
	return 0;
}

連結串列沒有學過可以補一下哦~這裡就不贅述了。

謝謝觀看。