學習筆記——線性動態規劃
線性動態規劃是OIer學習DP的基礎，只有學好了線性DP，才能更好的理解之後學習的揹包、區間DP、樹形DP等一系列難題，那麼廢話不多說，開始我們的學習之旅吧！
1.DP的概念
1.${\color{Red}\colorbox{White}{子問題重疊性}}$：DP演算法把原問題視作若干個重疊子問題的逐層遞進，每個子問題的求解過程都構成一個“階段”。在完成前一個階段的計算後，DP才會執行下一階段的計算。
2.${\color{Red}\colorbox{White}{無後效性}}$：為了保證DP中每一階段的計算能夠按順序、不重複的進行，DP要求已經求解的子問題不受後續階段的影響。
我們身為OIer自然要更加重視知識的關聯性。運用類比的思想，我們可以發現DP與圖論這兩個看似毫不相干的兩個知識竟然有著千絲萬縷的聯絡。
${\color{Blue}\colorbox{White}{無後效性的另一種理解}}$：${\color{Black}\colorbox{Yellow}{DP對狀態空間的遍歷}}$構成了一張${\color{Black}\colorbox{Yellow}{有向無環圖（簡稱DAG）}}$,遍歷順序就是該有向無環圖的一個${\color{Black}\colorbox{Yellow}{拓撲序}}$，該DAG中節點對應問題中的狀態，圖中的邊對應狀態之間的轉移，轉移的選取對應DP中的決策。
3.${\color{Red}\colorbox{White}{最優子結構性質}}$：
(1).${\color{Blue}\colorbox{White}{狹義理解}}$：下一階段的最優解能夠由前面各階段子問題的最優解匯出
(2).${\color{Blue}\colorbox{White}{廣義理解}}$：DP在階段計算完成時，只會在每個狀態上保留與最終解集相關的部分代表資訊，這些代表資訊應該具有可重複的求解過程，並能夠匯出後續階段的代表資訊。
4.${\color{Red}\colorbox{White}{總結}}$
綜上所述，狀態、階段和決策是構成DP演算法的三要素，而子問題重疊性、無後效性和最優子結構性質是問題能用DP求解的三個基本條件。
2.線性DP的定義
如果一個DP演算法的狀態包含多個維度，但在每一個維度上都具有線性變化的階段，則該DP演算法稱為線性DP。
3.線性DP的核心思想
首先，我們可以先用自己的方式進行題意簡述
舉個栗子（LIS問題--最長上升子序列）
| 題意簡述 | 給定一個長度為$N$的數列$A$，求數值單調遞增的子序列的最長長度 |
|---|---|
| 狀態表示 | 令$F[i]$表示以$A[i]$結尾的最長上升子序列的長度 |
| 階段劃分 | 子序列的結尾位置（數列$A$中的位置，從前到後） |
| 轉移方程 | $F[i]=\max(F[i],F[j]+1)(0 \leqslant j < i,A[j]<A[i]$) |
| 邊界條件 | $F[0]=0$ |
| 目標 | $\max(F[i])(1 \leqslant i \leqslant N$) |
4.線性DP的一些優化技巧
1.在設計DP的狀態轉移方程時，可以以如何計算出一個狀態
（直接）的形式給出，也可以考慮一個已知狀態應該更新那些後續階段的未知狀態（間接）。它們各有千秋，視具體題目選擇合適的方法更有利於解題。
2.滾動陣列真的好用：我們對於一些可能MLE的DP狀態進行分析，如果我們發現這一狀態的DP只與前幾狀態的DP有關，就可以只定義這個數+1個的該維度空間（舉個栗子：若i的狀態只與i-1的狀態有關，則對於i的維度可以只開到2的空間，迴圈使用0和1）。但是滾動陣列會覆蓋掉之前求的狀態，如果只用求最終狀態則建議使用滾動陣列進行優化，若要求每一個狀態的最優解，千萬別用！（不過這類題一般不會爆MLE，要不然就無解了）（滾動陣列具體用法參照T7我的程式碼）
3.在實現狀態轉移方程時，要注意觀察決策集合的範圍隨狀態的變化情況，若決策集合有規律的變化，就可以考慮維護一個新的變數記錄決策集合的當前資訊，避免重複掃描，把轉移的複雜度降低一個量級。（要栗子的話就是T2我用優化打了個N方DP過了NlogN的題（與資料水也有很大的關係））
別問為什麼沒有程式碼，DP這毒瘤玩意根本沒有模板
好了，最後我再扔幾道題就閃吧！
1.線性DP的入門水題（一篇比較了DP與貪心、搜尋、記搜複雜度的好題解）（碼了個10min競速程式碼）
通過這道水題，我知道了兩點：
(1).我的手速真的不行，碼程式碼碼不快（慢慢練吧）
(2).沒有立刻想到最優解（明顯從下傳到上比從上傳到下更快，因為前者只用輸出$ans[1][1]$,而後者要多一個$\Theta(n)$的迴圈求最大值），要多鍛鍊自己的思維水平。
2.棧+二分、樹狀陣列版二維偏序吊打DP的偽DP題（通俗易懂的棧+二分題解）（還不會的樹狀陣列版二維偏序）（DP思路+DP常數優化+我的程式碼）
5.四種牌分別處理的線性DP（有點揹包的味道）（講的不錯的題解）（我的程式碼）
6.第一個自己獨立做出的DP綠題（O(N)做法的題解）（二分做法的NlogN的題解）（我的程式碼）
隨手取模真的很重要，不然100pts->60pts。以後遇到這類題也不用太慌，先明確自己設定的DP陣列每個維度都代表著什麼（最好在程式碼中的相應陣列下寫一點註釋），然後考慮未知的狀態可以由那些已經求出的狀態推出（可以在草稿紙上寫出DP方程式），明確思路後再碼程式碼。
8.構造新數列求最長不下降子序列+推新結論的噁心題（有動圖的良心題解）（碼了半天的程式碼（一個晚上+半個上午））
比較難的DP題真的就是在比耐心和細心。
問題一：本題運用正難則反的思想，對於暫時毫無思路的問題，可以考慮構造新數列進行求解（可以將題面簡化為一堆關係式，然後對其進行化簡，找出關係式中的共同點，在將其用一個新陣列儲存，可以極大的簡化程式碼、降低複雜度和輔助思考）。
那個推新結論是人能想到的嗎？
問題二：對於一些更難的問題，可以多畫圖輔助思考，排除一些矛盾的情況，找到一些類似的情形，然後轉化為DP的形式進行狀態轉移方程的推導。
10.雙DP陣列+字首和優化的水題（講的不錯的題解（只看思路就可以打程式碼））（我的程式碼）
最後再挖兩個坑，以後再填吧！（畢竟現在不是刷黑題的時候）