題面

1.每次給定 \(a,b,n\)，\(num\) 初值為 \(1\)，可以進行任意次操作，每次操作可以將 \(num ×a或+b\)，求能否將 \(num\) 變為 \(n\)。
一共進行 \(t\) 次詢問。(\(t≤10^5,1≤n,a,b≤10^9\))

2.現有長度為 \(1\) ~ \(N+1\) 的物品各一個，可以切割已選擇的物品（如將 \(x\) 切割為 \(x-a\) 與 \(a\))。現要求選擇若干個物品使自己獲得 \(1\) ~ \(N\) 的物品各一個。求最少選擇多少個物品。\((1\le N\le 10^{18})\)

3.給定 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的無向圖，邊權為正，求 \(1\)

題解

1.CF#729 Plus and Multiply
如果一個數 \(x\) 滿足 \((n-x)\%b==0\), 那麼就可以得到 \(n\)。

這個式子也就是 \(n\%b == x\%b\)。

考慮能不能得到這樣的 \(x\)。

對\(num\) \(+b\)肯定不能改變它的餘數，而對 \(num\) \(×a\)可以。

\(num\)初始為 \(1\)，所以只要找有沒有 \(k\)，滿足 \(a^k = x\), 即 \((a^k)\%b == n\%b\) 即可。

列舉 \(k\) 的時候保證 \(a^k≤n\)

2.ARC109B log
找到最大的 \(k\) 滿足 \(1+2+3+...+k\le N+1\)，然後購買長度為 \(k\) ~ \(N+1\) 的原木即可。

因為 \(k+1\) ~ \(N\) 的長度可以直接對應，而長度為 \(1\) ~ \(k\) 的原木就可以被 \(N+1\) 分出來。

附:求 \(k\) 的時候可以二分，也可以這樣做：等差數列求和得到\(k\)是滿足 \(k(k+1)\le 2n+2\) 的最大值，所以先讓 \(k=\sqrt{2n+2}\)，然後不斷讓 \(k++\) 直到滿足條件（迴圈次數不多）。

3.ABC211D Number of Shortest paths