技術標籤：動態規劃揹包問題優化演算法優化時間記憶體cppacm競賽動態規劃求解記憶體優化演算法

ACM雜題K - I NEED A OFFER!——動態規劃_揹包問題優化解法

題目描述

Speakless很早就想出國，現在他已經考完了所有需要的考試，準備了所有要準備的材料，於是，便需要去申請學校了。要申請國外的任何大學，你都要交納一定的申請費用，這可是很驚人的。Speakless沒有多少錢，總共只攢了n萬美元。他將在m個學校中選擇若干的（當然要在他的經濟承受範圍內）。每個學校都有不同的申請費用a（萬美元），並且Speakless估計了他得到這個學校offer的可能性b。不同學校之間是否得到offer不會互相影響。“I NEED A OFFER”，他大叫一聲。幫幫這個可憐的人吧，幫助他計算一下，他可以收到至少一份offer的最大概率。（如果Speakless選擇了多個學校，得到任意一個學校的offer都可以）。

Input

輸入有若干組資料，每組資料的第一行有兩個正整數n,m(0<=n<=10000,0<=m<=10000)
後面的m行，每行都有兩個資料ai(整型),bi(實型)分別表示第i個學校的申請費用和可能拿到offer的概率。
輸入的最後有兩個0。

Output

每組資料都對應一個輸出，表示Speakless可能得到至少一份offer的最大概率。用百分數表示，精確到小數點後一位。

Sample Input

10 3
4 0.1
4 0.2
5 0.3
0 0

Sample Output

44.0%

Hint

You should use printf("%%") to print a '%'.
 

題目大意

有n萬元，夠付某些學校的申請費，每個學校的通過率為Pi，先要明確的是至少有一個學校通過的概率 ，最後在m所學校中要找出夠付的情況下的

最大值P。

化解成揹包問題描述，m個學校為m件商品，每個學校的申請費a為商品質量（或體積），每個學校不錄取率為商品的價值，手中有的總錢數n為書包的容量。現在需要在商品

能裝進書包的情況下，讓裝入書包的所有商品的價值的乘積最小。1-P就是最大的被至少一個學校錄取的概率。

題解

常規的揹包問題的解法設設定一個二維陣列a，高位i為商品個數，低位j為書包容積數，儲存的是對於第i件商品，書包容積為j時可以儲存的商品價值成績的最小值（常規題目思想是商品價值和的最大值）。運用兩個for迴圈來填充陣列a，外層迴圈為商品個數，內層迴圈書包容積數，判斷條件為當前商品的體積money[i]<=容積j，檢查更新公式：

這個方法的問題在於當商品數很多、書包容積很大時陣列開得太大會爆掉記憶體，而且噹噹前商品體積小於容積是沒有操作的，浪費大量了的時間和空間。因此將陣列化簡成一維，只存放對於當前體積j的最小的商品價值乘積的最小值，還是用兩個for迴圈，外層商品數，內層體積數來遍歷，內迴圈控制為最大容積到當前商品的體積，這樣避免判斷商品不能裝入書包的情況（無法裝入自然不會更新，所以可以直接不判斷），檢查更新陣列a的公式為 。同時記錄更新最小值，最後for迴圈遍歷完之後輸出（1-最小值）即可。

ps：本篇文章暫時只討論了0-1揹包問題（同類商品只有一個）

程式碼

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
struct offer
{
    int mon;
    double realp;  //是用1-p得到的，真正用於計算的“商品的價值”
    double p;
};
double mymin(double x,double y)
{
    if(x<y)
        return x;
    else
        return y;
}
int main()
{
    int n=0,m=0;
    cin>>n>>m;
    while(n!=0 || m!=0)
    {
        offer *x=new offer[m+1];
        double *maxx=new double [n+1];
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>x[i].mon>>x[i].p;
            x[i].realp=1-x[i].p;
        }
        for(int i=0;i<=n;i++)
            maxx[i]=1.0;
        double big=1.0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=n;j>=x[i].mon;j--)
            {
                maxx[j]=mymin(maxx[j],maxx[j-x[i].mon]*x[i].realp);//j容量將能裝入的
                if(maxx[j]<big)
                    big=maxx[j];
            }
        }
        cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(1)<<(1-big)*100<<"%"<<endl;
        cin>>n>>m;
    }
    return 0;
}