HDU6956 Pass! 常係數齊次線性遞推 BSGS
阿新 • • 發佈:2021-07-30
HDU6956 Pass! 常係數齊次線性遞推
題意
\(n\)個人玩球,初始時\(1\)號發球,發球可以發給除了自己的任意一個人 問最後發到\(1\)號的方案數
分析
\(dp[n][0/1]\)表示經過\(n\)次發球後回到\(1\)號位/不回到\(1\)號位的方案數 其中\(N\)表示總人數
那麼可以輕易列出轉移方程
\[dp[n][0] = dp[n - 1][1]\\ dp[n][1] = dp[n - 1][0] \times(N - 1) + dp[n-1][1]\times(N-2)\\ \]消去\(dp[n][1]\)
\[dp[n][0] = dp[n-2][0]\times(N-1)+dp[n-1][0]\times(N-2) \]於是可以抽象為
這類可以歸納為常係數齊次線性遞推,對於小資料可以用特徵方程來手算
以這題為例
\[x^2 - (N-2)x^1 - (N-1)x^0 = 0 \]可以得到兩個根\(x_1 = -1,x_2 = N - 1\)
得到\(h_n = c_1(-1)^n + c_2(N-1)^n\)
利用已知的兩項\(a_0 = 1,a_1 = 0\)
列出條件方程
\[(n=0) \ c_1 + c_2 = 1\\ (n = 1) \ -c_1+c_2(N-1) = 0\\ \]容易解得
\[c_1 = \frac{N-1}{N} ,c_2 = \frac{1}{N} \]於是有
代入題給的\(x\) 對\(n\)的奇偶分類討論
1.\(n\)為奇數
\[(N-1)^n \equiv N(x+1)-1 (mod \ M) \]2.\(n\)為偶數
\[(N-1)^n \equiv N(x-1)+1(mod \ M) \]於是套用\(BSGS\)即可求解出\(n\)
程式碼
#include<bits/stdc++.h> #define pii pair<int,int> #define fi first #define se second using namespace std; typedef long long ll; ll rd(){ ll x; scanf("%lld",&x); return x; } const int MOD = 998244353; struct HashTable{ static const int N = (1 << 16),P = (1 << 16) - 1; int las[P + 10],nxt[N],num[N],val[N],cnt; inline int gethash(int x){ return (x ^ (x >> 16)) & P; } inline void hash(int x,int a){ int y = gethash(x); ++cnt; num[cnt] = x; val[cnt] = a; nxt[cnt] = las[y]; las[y] = cnt; } inline int check(int x){ int y = gethash(x); for(int i = las[y];i;i = nxt[i]) if(num[i] == x) return val[i]; return -1; } inline void clear(){ for(int i = 0;i <= cnt;i++) num[i] = val[i] = nxt[i] = las[i] = 0; memset(las,0,sizeof las); cnt = 0; } }tb; inline int BSGS(int a,int n){ if(n == 1) return 0; tb.clear(); int i,x,y,z; int m = ceil(sqrt(1.0 * MOD)); for(i = 0,x = 1;i < m;i++,x = (ll)a * x % MOD) tb.hash((ll)x * n % MOD,i); for(i = 1,y = x;i <= m;i++,y = (ll)y * x % MOD) if(~(z = tb.check(y))) return i * m - z; return -1; } int main(){ int T = rd(); while(T--){ int n = rd(); int x = rd(); int A1 = n - 1; int A2 = n - 1; int B1 = (ll)n * (x + 1) % MOD - 1; int B2 = (ll)n * ((x - 1 + MOD) % MOD) % MOD + 1; if(B1 < 0) B1 += MOD; if(B2 >= MOD) B2 -= MOD; int ans1 = BSGS(A1,B1); if(~ans1 && ans1 % 2 == 0) ans1 = -1; int ans2 = BSGS(A2,B2); if(~ans2 && ans2 % 2 == 1) ans2 = -1; if(ans1 == -1 && ans2 == -1) puts("-1"); else if(ans1 == -1) printf("%d\n",ans2); else if(ans2 == -1) printf("%d\n",ans1); else printf("%d\n",min(ans1,ans2)); } }