特徵值法解常係數線性微分方程解法總結
1. 引言
本文主要講常係數線性微分方程的特徵值法做了總結。在文獻[1]的4.2節，詳細介紹了常係數線性微分方程的解法，對特徵方程根的各種情況（實根或復根&根的重數）進行分類講解，但由於分類過於仔細，使得讀者對根的情況的記憶比較困難，本文致力於將特徵根的各種情形統一處理，便於對微分方程解進行記憶.
2. 準備知識
本節所有的研究都是圍繞著方程
\begin{equation}
\frac{d^nx}{d t^n}+a_1(t)\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=f(x)
\end{equation}
進行的．其中 \(a_i(t)(i=1,2,\cdots,n)\)
如果{} \(f(t)\equiv 0\)，則方程(1)變為
\begin{equation}
\frac{d^nx}{d t^n }+a_1(t)\frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=0
\end{equation}
設 $K=\alpha + \(i\)\beta$ 是任意複數，這裡 \(\alpha,\beta\) 是實數，\(t\) 為實變數，那麼有
\begin{equation}
e^{Kt} = e^{(\alpha + \text{i}\beta )t}=e^{\alpha t}(\cos{\beta t} + \text{i}\sin{\beta t})
\end{equation}
此公式可通過泰勒展開進行驗證．
定理1.1
定理1.2若方程 \[\frac{d ^nx}{d t^n}+a_1(t)\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=u(t)+iv(t) \]
有復值解\(x=U(t)+\text{i}V(t)\)
和
\[ \frac{d ^nx}{d t^n}+a_1(t)\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=v(t) \]的解．
注：上面兩個定理保證了下述內容的正確性．定理1.1和定理1.2均來自文獻[1].
3. 常係數齊次線性微分方程和尤拉方程
3.1 常係數齊次線性微分方程的解
設齊次線性微分方程中所有係數都是常數，即方程有如下形狀
\begin{equation}
L[x] \equiv \frac{d ^n x}{d t^n} +a_1\frac{d^{n-1} x}{d t^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \frac{d x}{d t} + a_nx=0
\end{equation}
其中 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 為常數．
按照前面的理論，為了求方程(4)的通解，只需求其基本解組．回顧一階常係數齊次微分方程
已知，它有形如 \(x=e^{-at}\) 的解，且其通解就是 \(x=ce^{-at}\)．這就啟發我們對方程(3)也去試求指數函式形式的解
\begin{equation}
x=e^{\lambda t}
\end{equation}
其中 \(\lambda\) 是待定常數，可以是實數，也可以是複數．
注意到
其中\(F(\lambda)=\lambda ^n +a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_{n-1} + a_n\)，是 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多項式．式(5)為方程(4)的解的充要條件是 \(\lambda\) 是代數方程
\begin{equation}
F(\lambda)=\lambda ^n +a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_{n-1} + a_n=0
\end{equation}
的根．稱(6)為方程(4)的特徵方程，它的根就稱為特徵根．
設方程(4)的某一特徵根為\(\lambda(k\)重,\(k\geqslant 1)\)，則\(k\) 重特徵根\(\lambda\) 對應於方程(4)的\(k\) 個線性無關解為
當\(\lambda\) 為複數時，只需用尤拉公式(3)轉化，可得到\(2k\) 個解，而 \(\lambda\) 的共軛\(\overline{\lambda}\) 用此辦法轉化時，也得到相同的\(2k\) 個解，這與\(\lambda\) 和\(\overline{\lambda}\) 對應\(2k\) 個解的事實相符．
3.2 Euler方程
形如
\begin{equation}
x^n \frac{d ^n y}{d x^n} + a_1x^{n-1} \frac{d ^{n-1} y}{d x^{n-1}} + \cdots +a_{n-1} x\frac{d y}{d x}+a_ny=0
\end{equation}
的方程稱為尤拉方程，這裡\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 為常數．以\(y=x^k\) 代入(7)，並約去因子\(x^k\)，就得到用來確定\(k\) 的代數方程
\begin{equation}
k(k-1)\cdots(k-n+1)+a_1k(k-1)\cdots(k-n+2)+\cdots+a_n=0
\end{equation}
因此，方程(8)的\(m\) 重根\(k_0\) 對應於方程(7)的\(m\) 個解為
當為複數時，只需使用尤拉公式轉換即可．
4. 非齊次線性微分方程(比較係數法)
下面討論常係數非齊次線性微分方程
\begin{equation}
L[x]\equiv \frac{d ^n x}{d t^n}+a_1\frac{d ^{n-1} x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}\frac{d x}{d t}+a_nx=f(t)
\end{equation}
的解．這裡\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 是常數，\(f(t)\) 是連續函式．
4.1 形式 I
設\(f(t) = (b_0t^m + b_1t^{m-1} +\cdots+ b_{m-1}t + b_m)e^{\lambda t}\)，其中\(\lambda\) 及\(b_i(i=1,2,\cdots,n)\) 為實常數．則方程(9)有形如
\begin{equation}
\tilde{x} = t^k(B_0 t^m + B_1 t^{m-1} +\cdots+ B_{m-1}t + B_m)e^{\lambda t}
\end{equation}
的特解．其中\(k\) 為特徵方程\(F(\lambda)=0\) 的根\(\lambda\) 的重數(\(\lambda\) 不是特徵根時認為是\(0\) 重)．而\(B_0,B_1,\cdots,B_m\) 是待定常數，只需將\(\tilde{x}\) 代入原方程，比較對應項的係數即可計算出\(B_0,B_1,\cdots,B_m\) ，也即求出了方程(9)的特解．
4.2 形式 II
設\(f(t) = [A(t)\cos\beta t + B(t)\sin\beta t]e^{\alpha t}\)．其中\(\alpha,\beta\) 為常數，而 \(A(t),B(t)\) 是關於\(t\) 的實係數多項式，\(A(t)\) 與\(B(t)\) 的次數為\(m\) ．則方程(9)有形如
\begin{equation}
\tilde{x} = t^k[P(t)\cos\beta t+Q(t)\sin\beta t]e^{\alpha t}
\end{equation}
的特解．這裡\(k\) 是為特徵方程\(F(\lambda)=0\) 的根\(\alpha+\text{i}\beta\) 的重數，而\(P(t),Q(t)\) 均為待定的帶實係數的次數不超過\(m\) 的\(t\) 的多形式，將(11)代回(9)，通過比較對應項的係數即可求出\(P(t),Q(t)\)，也即求出了方程(9)的特解．
4.3 Euler方程的另一種解法
可用變換\(x=e^t(\text{即} t=\ln x)\) 將Euler方程(7)轉化為前述的非齊次線性微分方程，即可求解．
參考文獻
[1] 王高雄等. 常微分方程(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.