最近遇到要求解此類差分方程的問題，查閱了相關資料，進行了完善並記錄下來

求一階常係數齊次線性差分方程的通解#
一階常係數齊次線性差分方程的一般形式為 yn+1−ayn=0,(a≠0)

迭代法#
給定初始值為 y0 ，則 y1=ay0,y2=ay1=a2y0,y3=ay2=a(a2y0)=a3y0,…,yn=any0

其中初始值 y0 為常數，令 y0=C ， 則通解可表示為 Yn=Can

當存在某一個 yx 已知時，將其代入通解，可以求得 C

特徵根法#
將原方程變形 yn+1−ayn=0,(a≠0)⟺yn+1−yn+(1−a)yn=0⟺Δyn+(1−a)yn=0,(a≠0)

根據 Δλn=(λ−1)n 可以看出 yn 的形式一定為某一指數函式

設 yn=λn(λ≠0) ，代入原方程得 λn+1−aλn=0 ，即 λ−a=0⟺λ=a

於是 yn=an 是原方程的一個解，從而 yn=Can 是原方程的通解

舉例#
【例1】求 yn+1−yn=0 的通解

【解】特徵方程為 λ−1=0 ，解得特徵根為 λ=1 ，所以原方程的通解為 Yn=C

【例2】求 yn+1−2yn=0 的通解

【解】特徵方程為 λ−2=0 ，解得特徵根為 λ=2 ，所以原方程的通解為 Yn=C⋅2n

【例3】已知 y0=1 ，求 yn+1+yn=0 的通解

【解】特徵方程為 λ+1=0 ，解得特徵根為 λ=−1 ，所以原方程的通解為 Yn=C(−1)n

將 y0=1 代入，得到 1=C(−1)0⟺C=1 ，所以原方程的通解為 Yn=(−1)n

求一階常係數非齊次線性差分方程的通解#
一階常係數非齊次線性差分方程的一般形式為 yn+1−ayn=f(n),(a≠0)

當 f(n)=0 時，方程為 yn+1−ayn=0 ，稱它為原方程對應的齊次方程

一階常係數非齊次線性差分方程的通解為對應的齊次方程通解 Yn 與原方程的特解 y∗n 之和，即 yn=Yn+y∗n

當 f(n) 為某些特殊型別的函式時，採用待定係數法求其特解 y∗n 較為方便

右端函式為m階多項式型別#
原方程變形為 Δyn+(1−a)yn=f(n),(a≠0)

由於 f(n) 為多項式，因此 y∗n 也應該是多項式

當 a≠1 時，令 y∗n=θ0nm+θ1nm−1+⋯+θm

當 a=1 時，令 y∗n=n(θ0nm+θ1nm−1+⋯+θm)

舉例#
【例1】求 yn+1−yn=n2 的通解

【解】對應的齊次方程為 yn+1−yn=0 ，特徵方程為 λ−1=0 ，特徵根為 λ=1 ，齊次方程的通解為 Yn=C

設原方程的特結為 y∗n=an3+bn2+cn ，代入原方程得 a(n+1)3+b(n+1)2+c(n+1)−an3−bn2−cn=n2

原方程要恆成立，用待定係數法得到 a=13,b=12,c=16

所以原方程的通解為 yn=13n3+12n2+16n+C

右端函式為指數函式與m階多項式相乘#
設原方程為 yn+1−ayn=μnPm(n),(a≠0)

當 μ=0,1 時，屬於上面一種情況

當 μ≠0,1 時，設 yn=μn⋅zn

代入原方程得 μn+1zn+1−aμnzn=μnPm(n)

消去 μn ，得 μzn+1−azn=Pm(n) ，就成為了上面一種型別，於是 y∗n=μn⋅z∗n