三維旋轉筆記:尤拉角/四元數/旋轉矩陣/軸角-記憶點整理
在看《尤拉角、旋轉矩陣、四元數合輯》，就之前所學做點筆記，以便以後再次複習。
先複習先基本概念
座標系
我們為了能夠科學的反映物體的運動特性，會在特定的座標系中進行描述，經常要用到以下幾種座標系：
-
大地座標系統
-
地心固定座標系統
-
本地北東地座標系統
-
機載北東地座標系統
-
機體軸座標系統
其中3、4、5都是我們建模、設計控制律時經常使用的座標系，描述物體（剛體）位姿資訊的6個自由度資訊都是在這三個座標系中產生的。
機體軸座標系的原點固連於飛行器重心，X軸指向機頭，Z軸指向機腹，X軸和Z軸都位於縱向對稱面內，而Y軸指向機身右側，與X、Z軸構成右手系，該座標系我們用body的首字母b表示。
機載NED座標系的原點也位於飛行器重心，其X軸指向橢球模型地理北極，Y軸指向橢球模型地理東方，Z軸沿橢球面法線向下，在絕大多數理解上都可以理解成通常的北向、東向、地向，通常該座標系用n表示。
本地NED座標系與機載NED座標系唯一的不同就是原點座標位於地面上任意一點，在分析物體的旋轉運動時一般不會用到。
旋轉關係
描述清楚姿態資訊的方式有三種：尤拉角、旋轉矩陣、四元數。
尤拉角
尤拉角是尤拉引入用來描述剛體姿態的三個角。尤拉角有靜態和動態兩種，靜態的是繞靜止的慣性座標系三個軸進行旋轉，而動態的在旋轉過程中旋轉座標軸會發生變化，除了第一次旋轉是繞慣性系的座標軸進行之外，後續兩次旋轉都是動態的，並且前面旋轉的角度對後面的旋轉軸是有影響的，按照不同的軸順序進行旋轉得到的尤拉角也是不同的，旋轉變換可以歸結為若干個沿著座標軸旋轉的組合，組合個數不超過三個並且兩個相鄰的旋轉必須沿著不同座標軸，總共有12種旋轉方式，分別是XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ。雖然存在12種旋轉方式，但是每一種旋轉方式都存在萬向鎖現象。
航空領域通常採用的旋轉方式是ZYX順序，下圖是一架飛機按照ZYX組合進行旋轉產生尤拉角的過程，其中，ψ為偏航角，θ為俯仰角，φ為滾轉角。
旋轉矩陣
旋轉矩陣反映了一個座標系中的座標在另一個座標系中表示的轉換關係。矩陣的乘法，本質是一種運動—矩陣的實質就是將座標整體線性變換——向量的前移相當於座標系的後移。這裡推薦閱讀《透析矩陣，由淺入深娓娓道來—高數-線性代數-矩陣》
已知任意一個向量OA=(x,y),把向量OA繞其起點O沿逆時針方向旋轉α角得到向量OB=(xcosα-ysinα,xsiaα+ycosα)。推導如下：
尤拉ZYX(ψ為偏航角，θ為俯仰角，φ為滾轉角，{B}是繞著{B}的軸旋轉的)變換拆解。只要θ≠±90°，尤拉角可以描述清楚任何剛體的姿態以及角運動資訊
若使用X-Y-Z固定角法對姿態進行描述，首先將座標系{B}和一個已知參考座標系{A}重合。先將{B}繞XA旋轉γ角，再繞YA旋轉ψ角，最後繞ZA旋轉θ角。（{B}是繞著{A}的軸旋轉的）
這兩種方法得到的最終旋轉矩陣一致，即有對偶關係，記這樣得到的旋轉矩陣為:[r11,r21,r31;r12,r22,r32,r13,r23,r33]
=>
其中atan2(y,x)表示在計算arctan(y/x)時，根據x和y的符號判別角度所在象限。注意當ψ=90°時 ,θ=0º，Ψ=90º，γ=atan2(r12,r22)
四元數
四元數是由愛爾蘭數學家Hamilton發明的。四元數是由1個實數加上3個複數組合而成，通常可以表示成w+xi+yj+zk或者（w，（x，y，z）），其中w、x、y、z都是實數，而i^2 = j^2 =k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1。那複數與四元數之間的關係、以及如何從複數這樣一個概念擴充套件到四元數呢？
空間中的子空間：一般而言，空間（維度>2）都存在更低維的子空間，比如二維空間中一維子空間，也就是直線；三維空間中的一維子空間和二維子空間，也就是直線和麵。當超過三維的概念我們就很難去想象是什麼樣子，但四維空間一定會存在三維子空間或二維子空間。我們這裡會加一個字首超（hyper）來形容這些空間，比如高維空間中的平面我們稱為超平面。
空間和子空間的對映：我們將二維空間表示為(x,y)，當y=0時，其實可以看成是一維的，只不過它表示成(x,0)這種形式。推到四維，(w,x,y,z)，當w=0時，(0,x,y,z)就是一個三維子空間，這也是為什麼我們可以用單位四元數對三維向量進行操作，其實我們是將三維向量對映到四維的三維子空間（w=0，這種形式也成純四元數），然後對其進行旋轉，最終得到的向量結果依然是這個三維子空間中的，因而可以映射回三維空間。
廣義球：這裡的球是廣義上的。我們在二維平面上，廣義球其實指代circle，三維空間上就是我們認知上的球，稱為two-sphere，而四維空間中廣義球其實是一個超球（hyper-sphere），又稱為three-sphere。單位向量其實就是廣義球上面的點，而單位四元數也就是three-sphere上面的點。
約束與特徵向量：空間中的一點由x, y, z等引數來表示，一般來說引數的數量與維數相等，二維空間的點用{x, y}引數，四維空間的點用{x, y, z, w}引數。但是對於空間的點加以約束，則該會減少引數的數量，比如三維空間的點在某一單位球面上，原本三個引數{x, y, z}才能表達的點現在只需要兩個引數{u, v}就可以表達。如果{u, v}是單位向量，也可以稱{u, v}是{x, y, z}的特徵向量。
四元數特性
-
四元數（以後不特指四元數=單位四元數）是四維空間中一個超球上面的點，滿足w²+x²+y²+z²=1；而純四元數是四維空間在w=0時的一個子空間的點，形式為{0, q}，特別注意的是純四元數與四元數是不同的概念。
-
四元數是複數虛部擴充套件的結果，複數的虛部為1個，而四元數虛部有3個，且兩兩互相正交，其中實部是cosθ/2，而虛部為一個単位軸乘以sinθ/2。
-
四元數自由度並沒有四個維度，由於存在w²+x²+y²+z²=1這個約束，它的自由度其實只有3，且每個四元數可以對應一個特徵向量，即n。但請記住四元數並不是與特徵向量一一對應的，後文會有說。
由於四元數存在於四維空間，所以如何利用低維資訊去理解高維資訊就顯得尤為重要。我們這裡先用三維舉個例子，三維的球用代數表示為x²+y²+z²=1，雖然球上面的點是由x，y，z三個引數來確定，但實際上我們只需要兩個。假設取x和z表示，其中y可以通過x和z進行求解。那麼，我們將y軸資訊給隱去，只看投影平面，如下圖所示。這張圖的意思是，整個球在XOZ平面上投影是一個圓，當球面一點投影在圓上時，y=0；投影的位置位於圓內時，則分別兩種情況，y>0處於北半球，y<0處於南半球。所以我們僅通過投影后的圓即可還原出整個球體。
讓我們推廣到四維，w²+x²+y²+z²=1中取x、y和z來表示超球。如下圖所示，四維空間投影到三維超平面（w=0）可能是一個two-sphere。當投影點在整個two-sphere的邊緣時，w一定為0，值得一提的是在這個空間內的四元數是一個純四元數。當投影點落在two-sphere的內部時，也分為兩種情況，w>0和w<0。但是我們可以發現這兩種情況下對應的特徵向量是一樣的，所以我們將旋轉矩陣向四元數轉換時，是有兩個對應值的，四元數的範圍是2倍覆蓋於3D旋轉（2:1 mapping）。
基本運算規律
對於四元數的運演算法則，我們要清楚的有以下幾個，假設有兩個四元數分別為q1=(w1,(x1,y1,z1))和q2=(w2,(x2,y2,z2))，令v1 = (x1,y1,z1),v2= (x2,y2,z2)，則
四元數的姿態表示
瞭解了四元數的基本運算規律後，我們來看下它如何表徵姿態，假設存在一根旋轉軸u，有一個繞u軸旋轉σ角度的這麼一個旋轉存在，那這時候代表這個旋轉的四元數是這樣子的：q=[cos(σ/2),u·sin(σ/2)]。其中u是旋轉軸的單位向量，q是一個單位四元數。
那上述這個四元數有什麼用呢，它對任何向量施加以下運算元運算後可以得到該向量繞u軸旋轉σ角度後的向量：w=qvq*
其實四元數表徵旋轉關係，跟旋轉矩陣的表示方法類似，只不過它只需要4個元素，而旋轉矩陣需要9個元素。
四元數相比其他形式變換的優點：
-
解決萬向節死鎖（Gimbal Lock）問題
-
僅需儲存4個浮點數，相比矩陣更加輕量
-
四元數無論是求逆、串聯等操作，相比矩陣更加高效
現在主流遊戲或動畫引擎都會以縮放向量+旋轉四元數+平移向量的形式進行儲存角色的運動資料。看看旋轉矩陣和四元數
首先將座標系{B}和一個已知參考座標系{A}重合，將{B}繞單位向量 [公式] 旋轉θ角。旋轉矩陣
=>
其中vθ=1-cosθ
Def. 設$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$，將ijk表示為直角座標系，稱q=t+xi+yj+zk為一般四元數，其共軛複數 q=t-xi-yj=zk=½·(t²+x²+y²+z²)=-(q+iqi+jqj+kqk)/2
設q0=cos(θ/2) ，q1=kxSin(θ/2)，q2=kysin(θ/2),，q3=kzsin(θ/2),那麼：q0²+ q1²+ q3² = 1，且
具體檢視《機器人運動學：旋轉，D-H表示法與雅可比矩陣》
尤拉角、旋轉矩陣、四元數之間相互轉換
先回顧一下這三個角運動的微分方程。
尤拉角角運動方程：
旋轉矩陣角運動方程：
四元數角運動方程：
推薦閱讀《尤拉角、旋轉矩陣、四元數角運動微分方程》
四元數轉旋轉矩陣
已知四元數：q=(q1,q2,q2,q3)
旋轉矩陣為(利用羅德里格斯公式即可)：
旋轉矩陣轉四元數
已知旋轉矩陣：[r11,r21,r31;r12,r22,r32,r13,r23,r33]
則求解四元數時根據的方法就是從四元數轉旋轉矩陣的公式中得到：
四元數轉尤拉角
已知四元數：q=(q1,q2,q2,q3)
尤拉角為：
但是當β角度為90度時，四元數反向計算尤拉角時會出現奇點，是無法計算的。
因為這時候簡化後的四元數是這樣的：[.707·cos[(α-λ)/2]，.707·[(α-λ)/2]，.707·cos[(α-λ)½]，.707·cos[(α-λ)½]]
所以atan2中後面那一項就變成了0：1-2×(q1²^2+q2²)=0
這時候我們通常令α=0，然後解出尤拉角的值。
尤拉角轉四元數：
已知尤拉角：α、β、γ
四元數為：
學習文章：
https://www.zhihu.com/question/47736315/answer/236808639
https://zhuanlan.zhihu.com/p/25936257
轉載本站文章《三維旋轉筆記:尤拉角/四元數/旋轉矩陣/軸角-記憶點整理》,
請註明出處：https://www.zhoulujun.cn/html/theory/Mathematics/Geometry/8149.html