Python連結串列之單向迴圈連結串列
1. \(\rm 2-SAT\) 問題簡述
有 \(n\) 個變數,每個變數有隻有 \(2\) 種取值,還有 \(m\) 個約束條件,每個條件都是對 \(k\) 個變數的約束。問這 \(n\) 個變數有沒有一種取值方法,能滿足這 \(m\) 個條件,這個問題就是 \(\rm k-SAT\) 問題,其中 \(\text{SAT}\) 是 \(\text{satisfiability}\) 的縮寫,意為“滿足性”。
當 \(k>2\) 時,\(\rm k-SAT\) 問題為 \(\rm NP\) 完全問題,只能用暴力;當 \(k=2\) 時,我們可以通過 強連通分量(我用了 \(\rm Tarjan\)
舉個栗子:
現在舉行了一場 \(\left\lceil 資料刪除\right\rfloor\) 的比賽,有 \(3\) 位候選人和 \(3\) 位評委,每位評委要滿足條件之一:
- yzh 評委:
- cxr 進入決賽;
- wsy 進入決賽。
- xhj 評委:
- wsy 進入決賽;
- zlq 不進入決賽。
- sid 評委:
- zlq 進入決賽;
- cxr 進入決賽。
那麼我們可以找到一組方案:cxr 不進入決賽,wsy 進入決賽,zlq 進入決賽(完了我又要被揍了啊 /fad)。
2. \(\rm 2-SAT\) 問題解決
題意
有 \(n\) 個變數 \(x_1\sim x_n(x_i\in\{0,1\})\),另有 \(m\) 個需要滿足的條件,每個條件給出 \(i,a,j,b\),表示 \(\lceil x_i\) 為 \(a\) 或 \(x_j\) 為 \(b\rfloor\)。給每個變數賦值使得所有條件得到滿足,若無解,輸出 IMPOSSIBLE
,否則輸出 POSSIBLE
並構造一組解。
思路
先建立有 \(2n\) 個節點的有向圖,第 \(i\) 號節點意味著 \(x_i=0\),第 \(i+n\) 號節點意味著 \(x_i=1\)。
對於一個約束條件:
- 若 \(a=0,b=0\),則向 \(i+n\to j\) 連邊,\(j+n\to i\) 連邊,說明當 \(x_i=1\) 時 \(x_j\) 必須取 \(0\),\(x_j=1\) 時 \(x_i\) 必須取 \(0\);
- 若 \(a=0,b=1\),則向 \(i+n\to j+n\) 連邊,\(j\to i\) 連邊,說明當 \(x_i=1\) 時 \(x_j\) 必須取 \(1\),\(x_j=0\) 時 \(x_i\) 必須取 \(0\);
- 若 \(a=1,b=0\),則向 \(i\to j\) 連邊,\(j+n\to i+n\) 連邊,說明當 \(x_i=0\) 時 \(x_j\) 必須取 \(0\),\(x_j=1\) 時 \(x_i\) 必須取 \(1\);
- 若 \(a=1,b=1\),則向 \(i\to j+n\) 連邊,\(j\to i+n\) 連邊,說明當 \(x_i=0\) 時 \(x_j\) 必須取 \(1\),\(x_j=0\) 時 \(x_i\) 必須取 \(1\)。
建圖程式碼:
while (m--)
{
int i, a, j, b;
scanf("%d%d%d%d", &i, &a, &j, &b);
if (a == 0)
{
if (b == 0)
{
add(i + n, j);
add(j + n, i);
}
else
{
add(i + n, j + n);
add(j, i);
}
}
else
{
if (b == 0)
{
add(i, j);
add(j + n, i + n);
}
else
{
add(i, j + n);
add(j, i + n);
}
}
}
當然,我們可以簡化一下:
while (m--)
{
int i, a, j, b;
scanf("%d%d%d%d", &i, &a, &j, &b);
add(i + a * n, j + (1 - b) * n);
add(j + b * n, i + (1 - a) * n);
}
建圖後,我們求一遍強連通,設點 \(i\) 所在的強連通的編號為 \(c_i\),遍歷 \(i=1\to n\),然後判斷:若 \(c_i=c_{i+n}\):說明若 \(x_i\) 取 \(0/1\),則對應的,\(x_i\) 必須取 \(1/0\)???炸了,所以我們推出了矛盾,即無解。
否則說明有解,那麼我們要怎麼構造解呢?
其實直接取所在強連通的編號更小的那個即可,原因如下:
在用 \(\rm Tarjan\) 求強連通時,由於是往下搜,所以實際上更晚訪問的強連通會被先標記,即該強連通的編號更小。
對於一個節點 \(i\),假設它對應的是取 \(0\),則取 \(1\) 的是 \(i+n\),若有這樣一條路
\[i\to j\to i+n \]那麼 \(i+n\) 所在的強連通編號更小。當我們取 \(i\) 時同時會取到 \(i+n\),就不行了,所以我們只能取 \(i+n\) 所在的強連通,即編號更小的。
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
printf("%d ", c[i] < c[i + n]);
}
\(\text{Code}\)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stack>
using namespace std;
const int MAXN = 2e6 + 5;
int cnt, Time, scc;
int head[MAXN], dfn[MAXN], low[MAXN], c[MAXN];
bool ins[MAXN];
stack<int> s;
struct edge
{
int to, nxt;
}e[MAXN << 1];
void add(int u, int v)
{
e[++cnt] = edge{v, head[u]};
head[u] = cnt;
}
void tarjan(int u)
{
dfn[u] = low[u] = ++Time;
s.push(u);
ins[u] = true;
for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
{
int v = e[i].to;
if (!dfn[v])
{
tarjan(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
}
else if (ins[v])
{
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (dfn[u] == low[u])
{
scc++;
int v = 0;
while (v != u)
{
v = s.top();
s.pop();
c[v] = scc;
ins[v] = false;
}
}
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int u, a, v, b;
scanf("%d%d%d%d", &u, &a, &v, &b);
add(u + a * n, v + (1 - b) * n);
add(v + b * n, u + (1 - a) * n);
}
for (int i = 1; i <= (n << 1); i++)
{
if (!dfn[i])
{
tarjan(i);
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (c[i] == c[i + n])
{
puts("IMPOSSIBLE");
return 0;
}
}
puts("POSSIBLE");
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
printf("%d ", c[i] < c[i + n]);
}
return 0;
}