二項式反演入門
阿新 • • 發佈:2021-08-09
對於序列 \(\{f_n\}\) 和 \(\{g_n\}\),通過 \(f\) 計算出 \(g\) 叫做正演,通過 \(g\) 計算出 \(f\) 叫做反演。
形式
二項式反演講的是:
\[g_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f_i \Leftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g_i \]證明
將組合數展開得到:
\[\begin{aligned} &g_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f_i \\ &\Leftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}f_i \\ &\Leftrightarrow \frac{g_n}{n!} = \sum_{i=0}^n \frac{1}{(n-i)!}\frac{f_i}{i!} \end{aligned} \]考慮序列 \(\{f_n\}\)
將 \(e^{-x}\) 在 \(x=0\) 處泰勒展開得到 \(e^{-x} = \sum_{i=0}^n (-1)^i \dfrac{x^i}{i!}\),和 \(G(x)\) 捲起來得到
\[\begin{aligned} &F(x)=\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\frac{1}{(k-i)!}\frac{g_i}{i!}x^k \\ &\Rightarrow \frac{f_n}{n!}=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\frac{1}{(n-i)!}\frac{g_i}{i!} \\ &\Rightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i} \frac{n!}{i!(n-i)!}g_i=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i} \binom{n}{i} g_i \end{aligned} \]證畢。
應用
咕