一些規律

• 狀態轉移方程

  f[i][]表示i這棵子樹怎樣的最優解

• 用子樹更新父親

  • 一個一個子樹的更新父親（樹上揹包）

  • 計算完所有子樹再更新子樹

題型1:子樹與計數

統計子樹和，通過加減一些子樹滿足題目中的某些性質

• Garland

  統計以每個點為根的子樹和，合併時遇到一個子樹和為\frac{sum}{3}的節點就記錄下來。

  code

• 最大子樹和

  統計每個點的子樹和，cut陣列標記刪除。統計的時候每個節點都統計一次。

  code

題型2:樹形揹包問題

一般是讓求在樹上選一些點滿足價值最大的問題

f[i][j]表示i這棵子樹選j個點的最優解

• 選課

  • 可能為一棵森林，新增0節點，使其變成一棵樹。

  • f[i][j]表示在i及其子樹中選j門課的最大得分。

  • 分組揹包模型，對於一個節點x，有\left | son(x) \right | 組物品，每組物品有t-1個，第i組的第j個物品的體積為j，價值為f[y_i][j]，揹包的總體積為t-1。

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• 有線電視網

  • f[i][j]表示在i及其子樹裡滿足j名使用者的最大收益。

  • 統計答案時逆序列舉i，如果有f[1][i]大於等於0，則輸出i。

• 重建道路

題型3:花費最少的費用覆蓋所有點

父親與孩子有聯絡

1.選父親必須不能選孩子（強制）

2.選父親可以不用選孩子（不強制）

• 保安站崗

  • 屬於第二類

    • 1.用x這個點覆蓋x

    • 2.用x的兒子節點y覆蓋x

    • 3.用x的父親節點fa覆蓋x

  • 分別用f[x][0],f[x][1],f[x][2]表示以x為根的子樹中的所有點全部被覆蓋，x的被覆蓋狀態分別上面的第1,2,3種狀態。

  • f[x][0]+=min(f[y][0],f[y][1],f[y][2])+val[x]

    x已經被自己覆蓋了，y既可以被自己或自己的兒子覆蓋，也可以被x覆蓋。

  • f[x][1]+=min(f[y][0],f[y][1])

    x已經被兒子節點覆蓋了，y可以被自己或自己的兒子覆蓋，但是不能被父親覆蓋。

    當選擇的全部是f[y][1]時，要加上min(f[y][0]-f[y][1])

    x要被自己的兒子覆蓋，但是x的所有兒子y都是被它的兒子所覆蓋的，其實是沒有兒子節點覆蓋y的。此時要選一個最小的差值min(f[y][0]-f[y][1])，強行使一個兒子節點選自己來覆蓋x。

  • f[x][2]+=min(f[y][0],f[y][1])

    x已經被父親節點覆蓋了，y可以被自己或自己的兒子覆蓋，但是不能被父親覆蓋。

  • code

• 沒有上司的舞會

  • 樹的最大獨立集，屬於第一類

  • f[i][0]：在i這棵子樹中，不選i的最大快樂指數。

    f[x][0]+=max(f[y][1],f[y][0])

  • f[i][1]：在i這棵子樹中，選擇i的最大快樂指數。

    f[x][1]+=f[y][0]

  • code

• Party at Hali-Bula

  • 樹的最大獨立集+判斷方案是否唯一

  • f[i][0/1]：在i這棵子樹中不選/選i的最大人數

    g[i][0/1]：在i這棵子樹中不選/選i的方案是否唯一，g[x][0]為0表示方案唯一，為1表示不唯一。

  • f[x][1]+=f[y][0]，g[x][1]|=g[y][0]

  • f[x][0]+=max(f[y][1],f[y][0])

    • f[y][1]==f[y][0] g[x][0]=1

      已經有兩種方案了。

    • f[y][1]>f[y][0] g[x][0]|=g[y][1]

    • f[y][0]>f[y][1] g[x][0]|=g[y][0]

  • code

題型4:樹上統計方案問題

給一個條件，問有多少個點的集合滿足這樣的條件。

運用乘法原理，控制一個點不動，看它能做多少貢獻

to be continued……

題型5:與其它演算法結合&&大模擬

• 風鈴

  • 把題目中的要求變成公式。

  • mindep[i]表示i子樹中最淺的玩具的深度

    maxdep[i]表示i子樹中最深的玩具和深度

    dep[i]表示節點i的深度

  • f[i]表示i這棵子樹中構成滿足條件的玩具所需的運算元。

    加邊時，先新增右邊的玩具後新增左邊的玩具，這樣遍歷到一個節點時，一定會先遍歷右邊的玩具後便利左邊的玩具。

    合併時，f[x]=f[toy[1]]+f[toy[2]]+((mindep[toy[1]]<maxdep[toy[2]])?1:0)。

  • n是杆的數量，不是玩具的數量……多開幾倍空間

  • code

    to be continued……

參考： 樹形dp+樹形結構總結