20210823省選組總結

兩道計數+一道類似計數的題？

計數專題嗎？

前兩題是真的難想但非常好寫，主要還是研究一下原理吧。

T3還不會QwQ

T1

令向下的點為 $1 $ ，向右的點為 \(2\) 。

首先每條 左下--右上 的對角線都是一樣的格子，然後顯然（似乎可以根據對角線相同用裴蜀定理？） 有周期 \(g=\gcd(n,m)\) 。

設一個週期內有 \(t\) 個 \(2\) 點。

然後根據對角線相同，我們發現對於相鄰的兩列，後一列的 \(2\)​ 點比前一列的 \(2\)​ 點要上移一行（迴圈），那麼每個點一共會走 \(m\)​ 步。同時，我們發現一條路徑是由當前列的 \(i\)​ 點走到下一列對應的 \(i+1\)

根據裴蜀定理，能夠走滿棋盤當且僅當 \(\gcd(\frac{n}{g} t , m - \frac{m}{g}t)\) 。

T2

考慮對每個環隨機一個權值到每條邊，這樣偶環的異或和為 \(0\) ，奇環的異或和為一條邊的權值，我們的目標是找到滿足異或和為所有奇環異或和的集合個數。

這個是必要條件但不充分（只要足夠隨機就充分了 bushi。

然後發現每個大奇環會由 奇數個奇環 和 若干個偶環 組成，於是只取最小奇環即可。

注意樹上差分的時候要用子樹和的形式，不然會造成額外影響。