機器學習數學基礎Datawhale-8月（4）

事先宣告：本文中未作說明的圖片均出自《2022考研數學張宇基礎30講》

一元函式微分學的幾何應用

極值和最值

極值是對於區域性的，最值是對於定義域的

間斷點可以是極值點

單調性和極值的判別

單調性的判別

若函式f(x)在某一區間上的導數<0，則在該區間上嚴格單調遞減

若函式f(x)在某一區間上的導數>0，則在該區間上嚴格單調遞增

一階可導點是極值點的必要條件

設f(x)在x=x0處可導，且在點x0處取得極值，則必有f‘(x0)=0

判別極值的充分條件

• 第一充分條件（鄰域中，點左右的單調性）

• 第二充分條件 （二階導數）

• 第三充分條件

n為奇數，不取極值，該點為拐點^[1]

凹凸性和拐點

凹凸性

（數學分析類教材稱a為（下）凸函式，b為凹（上凸）函式）

• Jensen不等式^[2]

圖中所指凸函式即為圖1-5-1中的a

拐點

連續曲線的凹弧和凸弧的分界點

凹凸性和拐點的判別

凹凸性

函式f(x)在某一區間上二階可導

在該區間上二階導數>0，則在該區間上圖形是（下凸）凹的

在該區間上二階導數<0，則在該區間上圖形是（上凸）凸的

二階可導點是拐點的必要條件

設f''(x)存在，且點（x0,f(x0)）為曲線上的拐點，則f''(x0)=0

判別拐點的充分條件

• 第一充分條件（去心鄰域中，點左右二階導數的符號相反）

• 第二充分條件（三階導數）

  設f(x)在x=x0的某鄰域內三階可導，且f''(x0)=0，f'''(x0)≠0，則(x0,f(x0))為拐點

• 第三充分條件^[1:1]

漸近線

斜漸近線

垂直漸近線

最值或取值範圍