洛谷 P2221 [HAOI2012]高速公路
連結：
題意：
有 \(n(1\leq n\leq 10^5)\) 個點,從第 \(i(1\leq i< n)\) 個點向第 \(i+1\) 個點連有邊。最初所有邊長 \(v_i\) 為 \(0\)。
有 \(m(1\leq m\leq 10^5)\) 次操作：
- 操作 \(1\)：
'C' l r v表示將 \(l\) 和 \(r\) 之間的所有邊長度加上 \(v\)。 - 操作 \(2\)：
'Q' l r在第 \(l\) 個到第 \(r\) 個點裡等概率隨機取出兩個不同的點 \(a\) 和 \(b\)，詢問 \(a,b\) 的期望距離。
保證：\(1\leq l\leq r\leq n,-10^4\leq v\leq 10^4\)
分析：
分析詢問操作，顯然是問距離的平均數，也就是\(\dfrac{\sum\limits_{i=l}^{r-1}\sum\limits_{j=i+1}^rdis[i][j]}{(r-l+1)\times(r-l)/2}\)。
分母可以直接算，分子比較難算。
首先化邊為點，查詢 \([l,r]\) 之間的邊也就是 \([l,r-1]\) 的邊。
考慮每條邊被計算的次數，列舉左右兩邊的端點，則 \(ans=\sum\limits_{i=l}^{r-1}v[i]\times(i-l+1)\times(r-i+1)\)。
把式子拆開後得到：
\(ans=\sum\limits_{i=l}^{r-1}v[i]*i^2+(l+r)\sum\limits_{i=l}^{r-1}v[i]*i+(-l*r+r-l+1)*\sum\limits_{i=l}^{r-1}v[i]\)
\(\sum\) 前面的東西可以提出來，所以我們只需要每次查詢 \(\sum\limits_{i=l}^{r-1}v[i]*i^2,\sum\limits_{i=l}^{r-1}v[i]*i,\sum\limits_{i=l}^{r-1}v[i]\)
線段樹維護這三個值，分別記為 \(sum1,sum2,sum3\)
pushup 時直接相加：
inline void pushup(int p){ sum1(p)=sum1(p<<1)+sum1(p<<1|1); sum2(p)=sum2(p<<1)+sum2(p<<1|1); sum3(p)=sum3(p<<1)+sum3(p<<1|1); }
修改時，\(sum1\) 加上 \(d*\sum\limits_{i=l}^ri^2\)，\(sum2\) 加上 \(d*\sum\limits_{i=l}^ri\)，\(sum3\) 加上 \(d*\sum\limits_{i=l}^r1\)。這些東西都可以 \(O(1)\) 搞出來。
所以分子就維護好了。
由於對邊的操作需要我們讓 \(r-1\)，但分母中的 \(r\) 不能減，所以在 \(r-1\) 後，分母要變成 \((r-l+2)\times(r-l+1)/2\)。
於是這道題就做完了。時間複雜度 \(O(n\log n)\)。
程式碼：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define in read()
inline int read(){
int p=0,f=1;
char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}
return p*f;
}
const int N=1e5+5;
int n,m;
inline int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
#define sum1(x) t[x].sum1
#define sum2(x) t[x].sum2
#define sum3(x) t[x].sum3
#define tag(x) t[x].tag
inline int sumi1(int l,int r){return (l+r)*(r-l+1)/2;}
inline int sumi2(int l,int r){return r*(r+1)/2*(2*r+1)/3-(l-1)*l/2*(2*l-1)/3;}
struct node{
int sum1,sum2,sum3,tag;
}t[N<<2];
inline void pushup(int p){
sum1(p)=sum1(p<<1)+sum1(p<<1|1);
sum2(p)=sum2(p<<1)+sum2(p<<1|1);
sum3(p)=sum3(p<<1)+sum3(p<<1|1);
}
inline void f(int l,int r,int p,int d){
tag(p)+=d;
sum1(p)+=sumi2(l,r)*d;
sum2(p)+=sumi1(l,r)*d;
sum3(p)+=(r-l+1)*d;
}
inline void pushdown(int l,int r,int p){
if(tag(p)){
int mid=(l+r)>>1;
f(l,mid,p<<1,tag(p));
f(mid+1,r,p<<1|1,tag(p));
tag(p)=0;
}
}
inline void change(int l,int r,int p,int cl,int cr,int d){
if(l>=cl&&r<=cr){f(l,r,p,d);return ;}
pushdown(l,r,p);
int mid=(l+r)>>1;
if(cl<=mid)change(l,mid,p<<1,cl,cr,d);
if(cr>mid)change(mid+1,r,p<<1|1,cl,cr,d);
pushup(p);
}
struct ret{
int sum1,sum2,sum3;
};
ret operator+(const ret &x,const ret &y){
ret z;
z.sum1=x.sum1+y.sum1;
z.sum2=x.sum2+y.sum2;
z.sum3=x.sum3+y.sum3;
return z;
}
inline ret query(int l,int r,int p,int ql,int qr){
if(l>=ql&&r<=qr){return {sum1(p),sum2(p),sum3(p)};}
pushdown(l,r,p);
int mid=(l+r)>>1;
ret t={0,0,0};
if(ql<=mid)t=t+query(l,mid,p<<1,ql,qr);
if(qr>mid)t=t+query(mid+1,r,p<<1|1,ql,qr);
return t;
}
signed main(){
n=in,m=in;
for(int i=1;i<=m;i++){
char c[5];
cin>>c;
if(c[0]=='C'){
int l=in,r=in-1,d=in;
change(1,n,1,l,r,d);
}
else{
int l=in,r=in-1;
ret ans=query(1,n,1,l,r);
int ans1=-ans.sum1+(l+r)*ans.sum2+(r-l+1-l*r)*ans.sum3;
int ans2=(r-l+2)*(r-l+1)/2;
int t=gcd(ans1,ans2);
ans1/=t,ans2/=t;
cout<<ans1<<"/"<<ans2<<'\n';
}
}
return 0;
}