P1220 關路燈

題目描述

某一村莊在一條路線上安裝了 \(n\) 盞路燈，每盞燈的功率有大有小（即同一段時間內消耗的電量有多有少）。老張就住在這條路中間某一路燈旁，他有一項工作就是每天早上天亮時一盞一盞地關掉這些路燈。

為了給村裡節省電費，老張記錄下了每盞路燈的位置和功率，他每次關燈時也都是儘快地去關，但是老張不知道怎樣去關燈才能夠最節省電。他每天都是在天亮時首先關掉自己所處位置的路燈，然後可以向左也可以向右去關燈。開始他以為先算一下左邊路燈的總功率再算一下右邊路燈的總功率，然後選擇先關掉功率大的一邊，再回過頭來關掉另一邊的路燈，而事實並非如此，因為在關的過程中適當地調頭有可能會更省一些。

現在已知老張走的速度為 \(1m/s\)

請你為老張編一程式來安排關燈的順序，使從老張開始關燈時刻算起所有燈消耗電最少（燈關掉後便不再消耗電了）。

輸入格式

第一行是兩個數字 \(n\)（表示路燈的總數）和 \(c\)（老張所處位置的路燈號）；

接下來 \(n\) 行，每行兩個資料，表示第 \(1\) 盞到第 \(n\) 盞路燈的位置和功率。資料保證路燈位置單調遞增。

輸出格式

一個數據，即最少的功耗（單位：\(J\)，\(1J=1W\times s\)）。

輸入輸出樣例

輸入

5 3
2 10
3 20
5 20
6 30
8 10
 

輸出

270

說明/提示

樣例解釋

此時關燈順序為 \(3,4,2,1,5\)。

資料範圍

\(1\leq n\leq 50\)，\(1\leq c\leq n\)。

思路

首先這是一個線性的路徑，如果只是一個簡單的線性 \(dp\)，不好儲存，所以考慮區間 \(dp\)。

當老張關完 \(i\) 到 \(j\) 的燈後，會處在 \(i\) 和 \(j\) 哪個位置呢，所以在加一維，用來表示老張所處的位置。

用 \(dp[i][j][0]\) 表示當老張關完 \(i\) 到 \(j\) 的燈後，處在 \(i\) 的位置。

用 \(dp[i][j][1]\) 表示當老張關完 \(i\) 到 \(j\)

這樣就可以推出動態轉移方程：

\(dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+Time(i,i+1,i,j+1),dp[i+1][j][1]+Time(i,j,i,j+1))\)

表示老張從 \(i+1\) 的位置到 \(i\) 的位置，和老張從 \(j\) 的位置到 \(i\) 的位置，並加上途中其他路燈所耗費的電，取最小值即可。

\(dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+Time(i,j,i-1,j),dp[i][j-1][1]+Time(j-1,j,i-1,j))\)

表示老張從 \(j-1\) 的位置到 \(j\) 的位置，和老張從 \(i\) 的位置到 \(j\) 的位置，並加上途中其他路燈所耗費的電，取最小值即可。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1000+50;
int n,k;
struct Node{
	int d,w;
}e[maxn];
int sum[maxn];
int dp[maxn][maxn][2];

int Cala(int i1,int j1,int i0,int j0){//計算途中其他未關的路燈所耗費的電量
	return (e[j1].d-e[i1].d)*(sum[i0]+sum[n]-sum[j0-1]);
}
int main(){
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));//初始為最大
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&e[i].d,&e[i].w);
		sum[i]=sum[i-1]+e[i].w;//記錄字首和
	}
	dp[k][k][1]=0;//初始化
	dp[k][k][0]=0;
	for(int d=2;d<=n;d++){
		for(int i=1,j;(j=i+d-1)<=n;i++){
			dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+Cala(i,i+1,i,j+1),dp[i+1][j][1]+Cala(i,j,i,j+1));
			dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][1]+Cala(j-1,j,i-1,j),dp[i][j-1][0]+Cala(i,j,i-1,j));
		}
	}
	printf("%d\n",min(dp[1][n][1],dp[1][n][0]));//兩種情況取最小值
	return 0;
}