數學界神祕的偏微分方程領域，再次被突破了！

來自中科大的陳世炳教授等人，開發了一套全新的數學方法，直接打破了領域內專家 20 多年來的既有認知。

相關論文已被數學四大頂刊之一《數學年刊》接受，將在接下來的某一期正式發表。

這篇論文突破了一個關鍵的非線性偏微分方程，它與我們機器學習中熟悉的最優傳輸理論息息相關。

最優傳輸理論，類似“找出把物品從 A 運到 B 的最佳方法”，用幾何方法來衡量概率分佈的距離、給概率分佈建模。像機器學習中的 W-GAN，就屬於最優傳輸問題。

讓丘成桐院士 1982 年獲菲爾茨獎的卡拉比猜想證明，就與這個方程相關。

2018 年的菲爾茨獎，再次頒給了在這個方程，以及最優傳輸問題上做出貢獻的 Alessio Figalli。

究竟是什麼方程如此關鍵，這次數學家們又做出了什麼重要突破？

一起來看看。

最優傳輸“逃不開”的方程

這個關鍵的非線性偏微分方程，名叫蒙日-安培方程。

它的提出，要從 18 世紀法國數學家加斯帕爾・蒙日（Gaspard Monge）對最優傳輸問題的研究說起。

最初，這個理論主要用來解決不連續分佈的物體運輸問題，類似於搬箱子：

將 ABC 初始地的箱子運到 CDE 目的地，確保每個目的地有 1 個箱子，求最佳的運輸方法。

後來，蒙日開始思考一類問題：對於連續分佈的物體，例如一團沙子，用什麼方法將它運輸到等體積的洞中，才是最省力的？

他發現，有不少這類連續情形下的最優傳輸問題，都能轉化為一類方程的邊值問題。

蒙日之後，安培進一步對它做了深入研究，方程也被命名為蒙日-安培方程：

▲ 蒙日-安培方程一般形式

這個方程要怎麼理解呢？

舉個例子，我們常見的“以圖搜圖”功能，其實就與蒙日-安培方程相關。

在通過影象匹配進行搜尋時，“搜圖”功能會將輸入影象與網上的影象進行一個對比。以黑白照片為例，可以將顏色深度看成是一個概率分佈（白色為 0，黑色為 1）。

因此，兩張照片匹配的問題，可以看成是兩個概率分佈的匹配問題。

1991 年，Yann Brenier 在研究中發現，這類連續概率分佈的匹配問題，對應地可以寫成一個梯度對映 y=Du (x), 其中 u 是一個凸函式, 且滿足：

根據黑塞矩陣（Hessian Matrix），有：

其中 λ 是 u 的黑塞矩陣的特徵根，是 λ 的 k 次初等多項式：

當 k=1 時，它就是我們熟悉的 Laplace 方程；當 k=n 時，它就是蒙日-安培方程。

近幾年，深度學習飛速發展，最優傳輸問題隨之成為研究熱點，對蒙日-安培方程的研究也進一步興起。

名噪一時的 Wasserstein GAN，用求 Wasserstein 距離的方法改善了 GAN 的穩定性。

求解 Wasserstein 距離正是一個最優傳輸問題，需要用到蒙日-安培方程。

紐約州立大學石溪分校的顧險峰教授認為，深度學習用到的資料可以看成是高維資料空間中一個低維流形上的概率分佈。

GAN 所學習的正是這個流形的結構，用編碼、解碼對映來表示，就將 GAN 隱空間中的資料分佈轉換成了幾何上的最優傳輸問題。

據顧險峰教授介紹，這幾年隨著醫學影象技術、無線通訊技術、3D 列印技術、VR/AR 技術的發展，以蒙日-安培方程為代表的非線性偏微分方程理論，開始廣泛用於 CS 和其他工程領域。

那麼，這次陳世炳教授等人發表在《數學年刊》上的研究，究竟做出了什麼突破？

打破二十多年的“定論”

研究一個方程的重要思路，就是研究解的性質。

蒙日-安培方程理論也不例外，它主要研究解的存在性、唯一性和光滑性（正則性）。

光滑性（正則性）通常用來描述函式的光滑程度。如果一個函式是光滑的，這個函式在數學定義上無窮可導。

其中，存在性證明已經由 Alexandrov 給出，而弱解（某種精確定義的意義下滿足該方程的解）的唯一性也已經得到證明。

對光滑性的研究，自 1996 年來卻一直侷限在某些條件下。

1996 年，Caffarelli 在他里程碑式的工作中，證明了當兩個區域是一致凸、密度函式光滑的時候，最優傳輸解光滑。

然而這裡有一些限制條件：兩個區域一致凸、密度函式光滑。

二十多年來，領域裡的專家幾乎都認為這些條件（尤其是區域一致凸）必不可少。

但陳世炳等人在這次的研究中，去掉了兩區域一致凸條件，甚至降低了對邊界的光滑性要求，證明了自然邊界條件下蒙日-安培方程的整體光滑性。

這對於蒙日-安培方程的研究來說，是一大進步，相當於把一個定理的範圍擴大到了更廣泛的領域。

作者介紹

作者陳世炳，現在任中國科學技術大學數學系特任教授，博士生導師。

據鎮海中學梓蔭山下微博賬號訊息，陳世炳是寧波鎮海中學 2001 屆校友。

鎮海中學是浙江省強校，除了陳世炳，還有包括 IOI 金牌得主羅煜翔等人也出自這裡。

陳世炳本碩畢業於北京大學數學系，博士畢業於加拿大多倫多大學。

曾先後在美國國家數學科學研究所和澳洲國立大學任博士後，與菲爾茨獎得主 Alessio Figalli 以及澳大利亞科學院院士汪徐家教授有長期合作。

他的主要研究領域為非線性偏微分方程，除了蒙日-安培方程之外也在曲率流、不等式以及 Lp Minkowski 問題方面取得了若干成果，目前已發表 SCI 論文十餘篇。

作者劉佳堃，澳大利亞伍倫貢大學數學與應用統計學院教授，本科畢業於浙江大學，曾獲陳省身數學獎學金。

作者汪徐家，澳大利亞科學院院士，曾獲華人數學最高獎“晨興數學獎”金獎，同樣在蒙日-安培方程上有深入研究，尤其是其中的正則性理論。

據顧險峰教授介紹，他與合作者給出了 Ma-Trudinger-Wang 條件，來限定密度函式，傳輸代價和概率測度支集的幾何性質，從而保證最優傳輸對映的光滑性。

同時，他還釐清了反射曲面設計、自由曲面透鏡設計等價於球面上的最優傳輸問題，也等價於球面上的蒙日-安培方程。

國內學者在這一方程上的突破歷程，可以說是非常精彩了。