CF703E Mishka and Divisors 題解
阿新 • • 發佈:2021-10-01
好久沒更部落格了,咕咕咕~
考慮 DP,記 \(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 個數中選出若干個數乘積為 \(j\) 的方案中,元素個數最少為多少。
根據題目要求,可以再記一個 \(g(i,j)\) 表示元素個數最少的前提下元素之和的最小值。
由於最後乘積要是 \(k\) 的倍數(而不是恰好為 \(k\)),所以使用刷表法更好。轉移式很好列出:(\(g(i,j)\) 類似)
\[f(i+1,\gcd(j\times a_i,k))=\min(i+1,\gcd(j\times a_i,k),f(i,j)+1) \]但是這樣顯然是 \(O(nk\log k)\) 的,無法通過。
不過,我們發現有很多狀態都是無用的。根據轉移式,\(f(i,j)\)
於是,我們預處理出 \(k\) 的因數,每次轉移時 \(j\) 只選擇 \(k\) 的因數轉移即可。
輸出方案有一些細節。
時間複雜度 \(O(n \operatorname{d}(k)\log k)\) 。
Code:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; typedef vector<int> vi; typedef pair<int,int> pii; template<typename T> inline T read(){ T x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } return x*f; } #define rdi read<int> #define rdll read<ll> #define fi first #define se second #define pb push_back #define mp make_pair template<typename T> inline T gcd(T x,T y){return !x?y:gcd(y%x,x);} const int N=1010,M=7010,INF=0x3f3f3f3f; int n; ll a[N],b[N],k; struct Node{ int cnt,fr; bool use; ll sum; bool operator < (const Node &rhs)const{ return cnt!=rhs.cnt?cnt<rhs.cnt:sum<rhs.sum; } }; vector<ll> d; int cnt; unordered_map<ll,int> id; Node f[N][M]; int main(){ #ifdef LOCAL freopen("1.in","r",stdin); freopen("1.out","w",stdout); #endif n=rdi(),k=rdll(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rdll(),b[i]=gcd(a[i],k); if(k==1){ int tmp=min_element(a+1,a+n+1)-a; printf("1\n%d\n",tmp); return 0; } for(ll i=1;i<=k/i;i++){ if(k%i==0){ d.pb(i); if(i!=k/i) d.pb(k/i); } } sort(d.begin(),d.end());cnt=d.size(); for(int i=cnt-1;i>=0;i--) id[d[i]]=i; for(int i=0;i<=n;i++){ for(int j=0;j<cnt;j++) f[i][j]={INF,0,0,0}; } f[0][0]={0,0,0,0}; for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<cnt;j++){ if(f[i][j].cnt==INF) continue; f[i+1][j]=min(f[i+1][j],{f[i][j].cnt,j,0,f[i][j].sum}); int nxt=id[gcd((__int128)d[j]*b[i+1],(__int128)k)]; f[i+1][nxt]=min(f[i+1][nxt],{f[i][j].cnt+1,j,1,f[i][j].sum+a[i+1]}); } } if(f[n][cnt-1].cnt==INF) puts("-1"); else{ ll nowx=n,nowy=cnt-1;vi res; while(nowx){ if(f[nowx][nowy].use) res.pb(nowx); nowy=f[nowx][nowy].fr,nowx--; } printf("%lu\n",res.size()); for(auto x:res) printf("%d ",x); puts(""); } return 0; }