矩陣 $A^{m * n}$,向量 $x=\left[x_{1}, x_{2},\ldots x_{n}\right]^{T}$,$y=\left[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m}\right]$

　　公式 1 $\quad A=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}\right]$， $A x=\sum \limits _{i=1}^{n} a_{i} x_{i}$

　　公式 2 $\quad A=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right]^{T}$, $y A=\sum \limits _{i=m}^{n} y_{i} x_{i}$

　　也就是說矩陣乘以列向量等以向量中每個元素乘以對應列再相加, 行 向量乘以矩陣等於行向量每個元素分別乘以對應的行再相加

1 初等矩陣左乘, 相當於行變換

　　由公式 2 可以引申出來， $\mathrm{YA}=\mathrm{C}$ ，則 $\mathrm{C}$ 的第 $\mathrm{i}$ 行元素等於 $\mathrm{Y}$ 的第 $\mathrm{i}$ 行元素，按照從左到右的順序分別乘以 $\mathrm{A}$ 中對應的列, 然後再相加。舉個例 子:

　　　　$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]$

　　如何讓 $\mathrm{A}$ 的第一行和第二行換下呢 ? 根據公式 2 的引申，則可以知道，讓 $\mathrm{Y}$ 的第一行的第一列元素為 $0$ ， 第一行第二列元素為 $1$，第三行第三列元素為 $0$， 則可以完成 $A$ 中第二行元素跑到第一行去， 同理可以讓 $A$ 中第一行 元素跑到第二行去也就是

　　　　$\begin{array}{c}Y=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right] \\Y A=\left[\begin{array}{lll}4 & 5 & 6 \\1 & 2 & 3 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]\end{array}$

2 初等矩陣右乘, 相當於列變換

　　由公式 1 可以引申出來，$\mathrm{AX}=\mathrm{C}$，$\mathrm{C}$中的第$ \mathrm{i}$ 列的元素等於$ \mathrm{X}$ 中第 $\mathrm{i}$ 列的元素從上到下，按照順序㑊次乘以$ \mathrm{A}$ 中的第 $\mathrm{i}$ 行，然後再加起來。同樣舉個例子

　　　　$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]$

　　如何做到讓 $\mathrm{A}$ 的第一列和第二列交換 ? 根據公式 1 的引申很容易得到，只 要 $X$ 的第一列為 $0,1,0$ ; 第二列為 $1,0,0 $, 第三列 $0,0,1$ 即可也就是

　　　　$\begin{array}{c}X\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right] \\A X=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\5 & 4 & 6 \\8 & 7 & 9\end{array}\right]\end{array}$

因上求緣，果上努力~~~~ 作者：CBlair，轉載請註明原文連結：https://www.cnblogs.com/BlairGrowing/p/15361970.html