5.1 置換矩陣（Permutation Matrix）

• 若 $\boldsymbol{P}$ 為置換矩陣，則$\boldsymbol{P}$ 是正交矩陣 ，即有$\boldsymbol{P}^T \boldsymbol{P} = \boldsymbol{I}$ ，$\boldsymbol{P}^T = \boldsymbol{P}^{-1}$ 。

• $n$ 階方陣的置換矩陣有$\left( \begin{array}{c} n \\ 1\end{array}\right) = n!$ 個。

3階方陣的置換矩陣有6個：

\[ \left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right] \]

5.2 轉置矩陣（Transpose Matrix）

矩陣 $\boldsymbol{A}$ 的轉置矩陣記為 $\boldsymbol{A}^T$ ，且有$(\boldsymbol{A}^T)_{ij} = (\boldsymbol{A})_{ji}$ 。

5.3 對稱矩陣（Symmetric Matrix）

對於矩陣 $\boldsymbol{A}$ 若有 $\boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{A}$ ，
則 $\boldsymbol{A}$ 為對稱矩陣。

對任意矩陣 $\boldsymbol{R}$ 有$\boldsymbol{R}^T \boldsymbol{R}$ 為對稱矩陣：

\[ (\boldsymbol{R}^T \boldsymbol{R})^T
=
(\boldsymbol{R})^T (\boldsymbol{R}^T)^T
=
\boldsymbol{R}^T \boldsymbol{R} \]

5.4 向量空間（Vector Space）和子空間（Subspaces）

向量空間（又稱為線性空間）要滿足加法封閉和數乘封閉。即向量空間中任意向量的數乘、求和運算得到的向量也在該空間中。因此所有向量空間都必須包含零向量。

設 $\boldsymbol{W}$ 是線性空間 $\boldsymbol{V}$ 的非空子集，則 $\boldsymbol{W}$ 是 $\boldsymbol{V}$ 的子空間

1. 若 $\alpha,\beta \in \boldsymbol{W}$ ，則$\alpha + \beta \in \boldsymbol{W}$ ；
2. 若 $\alpha \in \boldsymbol{W} , k \in \boldsymbol{R}$ ，則$k\alpha \in \boldsymbol{W}$ 。