上一講我們學習了行列式中的諸多性質，而這些性質最主要的應用還是在行列式的計算上，所以這一講主要就是運用性質對行列式進行計算。

一、代數餘子式

假設我們現在有一行列式為
$$
D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1j}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2j}&...&a_{2n}\\...&...&...&...&...&...\\a_{i1}&a_{i2}&...&a_{ij}&...&a_{in}\\...&...&...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nj}&...&a_{nn}\end{vmatrix}}
$$

則代數餘子式
$$
A_{ij}=(-1)^{i+j} \times {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&...&a_{2n}\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&...&a_{nn}\end{vmatrix}}
$$

對於乘號右邊的行列式，通俗一點來理解就是把第 $i$ 行和第 $j$ 列劃掉後剩下的行列式。

二、計算

得到代數餘子式後，對於任意一個行列式還有以下公式來表示 $D$ 的值
$$
D=a_{i1}\times A_{i1}+a_{i2}\times A_{i2}+...+a_{in}\times A_{in}
$$
對這個公式的理解為，對一行（或一列）的元素本身乘上它的代數餘子式進行求和得到的值即為原行列式的值，下面給出證明方法。

首先要證項數相等，考慮對 $A_{ij}$ 展開，則 $A{ij}$ 一定包含 $(n-1)!$ 項，而一行又有 $n$ 個元素，所以有 $n$ 個 $a_{ij}\times A_{ij}$ 項，所以一共有 $n\times (n-1)!=n!$ 項，與原行列式的項數相同。

其次再來證明總和相同。對於 $a_{ij}\times A_{ij}$ 的任意一項可以寫為
$$
a_{ij}\times (-1)^{i+j}\times (-1)^{l}\times a_{1{j_1}} a_{2{j_2}} ... a_{{i-1}{j_{i-1}}}...a_{{i+1}{j_{i+1}}}...a_{nj_{n}}
$$
於是可以得到
$$
(-1)^{(i-1)+l+(j-1)}\times a_{i{j_i}}a_{1{j_1}} a_{2{j_2}} ... a_{{i-1}{j_{i-1}}}...a_{{i+1}{j_{i+1}}}...a_{nj_{n}}
$$

所以我們就證明了每一項都與原行列式是相等的。

接下來我們以這個行列式為例嘗試一下行列式的計算過程。行列式計算的基本思路就是，利用上一講的性質八，讓行列式中的某一行或某一列有 $(n-1)$ 個 $0$ ，然後利用代數餘子式對行列式進行降階，如此反覆操作，直到達到二階行列式或三階行列式，方便使用對角線法則時，直接求解即可。
$$
D={\begin{vmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{vmatrix}}
$$

將第二行 $\times(-1)$ 加到第一行，行列式的值不變，得到
$$
D={\begin{vmatrix}8&0&-4&6\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{vmatrix}}
$$
再將第二行 $\times5$ 加到第四行，行列式的值也不變，得到
$$
D={\begin{vmatrix}8&0&-4&6\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\-24&0&18&-23\end{vmatrix}}
$$
根據代數餘子式相關性質
$$
D=1\times (-1)^{2+2}\times {\begin{vmatrix}8&-4&6\\2&1&-1\\-24&18&-23\end{vmatrix}}
$$
第二列加到第三列，得到
$$
D={\begin{vmatrix}8&-4&2\\2&1&0\\-24&18&-5\end{vmatrix}}
$$
第二列 $\times(-2)$ 加到第一列，得到
$$
D={\begin{vmatrix}16&-4&2\\0&1&0\\-60&18&-5\end{vmatrix}}
$$
再根據代數餘子式相關性之，可得
$$
D=1\times (-1)^{2+2} \times {\begin{vmatrix}16&2\\-60&-5\end{vmatrix}}=40
$$
以上就是行列式的計算過程，雖然有些繁瑣，但只要思路清晰，計算正確是沒有問題的。

三、三角形行列式

包含兩類行列式，上三角形行列式和下三角形行列式。此處僅給出下三角形行列式。可以根據代數餘子式的相關性質進行展開，就得到
$$
D={\begin{vmatrix}a_{11}&0&0&0&...&0\\a_{21}&a_{22}&0&0&...&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&...&0\\...&...&...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&...&...&a_{nn}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}...a_{nn}
$$
上三角形行列式同理。