上一講我們說了行列式的運算，有了性質八以及代數餘子式，各種行列式我們都可以通過固定的套路進行求解，這一講我們只來看一種特殊的行列式——範德蒙德行列式。

首先我們先假設一個四階的行列式
$$
D={\begin{vmatrix}1&1&1&1\\x_1&x_2&x_3&x_4\\x_1^{2}&x_2^{2}&x_3^{2}&x_4^{2}\\x_1^{3}&x_2^{3}&x_3^{3}&x_4^{3}\end{vmatrix}}
$$
觀察可知，每一列的 $n$ 個元素構成等比數列，我們稱這類行列式為範德蒙德行列式，而在計算這類行列式時，有比較明確的思路可以簡便運算過程，更快拿到結果。

首先，將第三行 $\times (-x_1)$ 加到第四行，行列式的值不變，可得，
$$
D={\begin{vmatrix}1&1&1&1\\x_1&x_2&x_3&x_4\\x_1^{2}&x_2^{2}&x_3^{2}&x_4^{2}\\0&x_2^{3}-x_2^{2}x_1&x_3^{3}-x_3^{2}x_1&x_4^{3}-x_4^{2}x_1\end{vmatrix}}
$$
再將第二行 $\times (-x_1)$ 加到第三行，可得，
$$
D={\begin{vmatrix}1&1&1&1\\x_1&x_2&x_3&x_4\\0&x_2^{2}-x_2x_1&x_3^{2}-x_3x_1&x_4^{2}-x_4x_1\\0&x_2^{3}-x_2^{2}x_1&x_3^{3}-x_3^{2}x_1&x_4^{3}-x_4^{2}x_1\end{vmatrix}}
$$
再將第一行 $\times(-x_1)$ 加到第二行，可得，
$$
D={\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&x_2-x_1&x_3-x_1&x_4-x_1\\0&x_2^{2}-x_2x_1&x_3^{2}-x_3x_1&x_4^{2}-x_4x_1\\0&x_2^{3}-x_2^{2}x_1&x_3^{3}-x_3^{2}x_1&x_4^{3}-x_4^{2}x_1\end{vmatrix}}
$$
於是根據代數餘子式的性質，我們就得到，
$$
D={\begin{vmatrix}x_2-x_1&x_3-x_1&x_4-x_1\\x_2^{2}-x_2x_1&x_3^{2}-x_3x_1&x_4^{2}-x_4x_1\\x_2^{3}-x_2^{2}x_1&x_3^{3}-x_3^{2}x_1&x_4^{3}-x_4^{2}x_1\end{vmatrix}}
$$
將每一列的公因式提出來，可得，
$$
D=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1){\begin{vmatrix}1&1&1\\x_2&x_3&x_4\\x_2^{2}&x_3^{2}&x_4^{2}\end{vmatrix}}
$$
重複上述操作，可得，
$$
D=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1){\begin{vmatrix}1&1&1\\0&x_3-x_2&x_4-x_2\\0&x_3^{2}-x_3x_2&x_4^{2}-x_4x_2\end{vmatrix}}
$$
於是，
$$
D=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_4-x_3)
$$
我們把最後的結果記為
$$
D=\prod_{1\leq i<j\leq4} (x_j-x_i)
$$