設$a_0=1,a_1=2$，且$n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1},n=1,2,3,\cdots$， 求$\cfrac{a_0}{a_1}+\cfrac{a_1}{a_2}+\cdots+\cfrac{a_{50}}{a_{51}}$的值

設\(a_0=1,a_1=2\)，且\(n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1},n=1,2,3,\cdots\)，
求\(\cfrac{a_0}{a_1}+\cfrac{a_1}{a_2}+\cdots+\cfrac{a_{50}}{a_{51}}\)的值

解
令\(x_n=\cfrac{na_n}{a_{n-1}}\)
題中等式兩邊同時除以\(a_{n-1}\)得

\[\begin{align} &\cfrac{n(n+1)a_{n+1}}{a_{n-1}}=\cfrac{n(n-1)a_n}{a_{n-1}}-(n-2)\\ \Leftrightarrow&\cfrac{na_n}{a_{n-1}}\cdot\cfrac{(n+1)a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n(n-1)a_n}{a_{n-1}}-(n-2)\\ \Leftrightarrow&x_n\cdot x_{n+1}=(n-1)x_n-(n-2) \space (*) \end{align} \]

由\(a_0=1,a_1=2\)

，可知\(x_1=2\)，代入公式，可知\(x_2=\cfrac{1}{2},x_3=1\)
不難發現，\(x=1\)為方程\((*)\)的不動點（即當\(x_n=1\)時，\(x_{n+1}=1\)）
故知\(x_n=\cfrac{na_n}{a_{n-1}}=1,n=3,4,5,\cdots\)
即\(\cfrac{a_{n-1}}{{a_n}}=n,n=3,4,5,\cdots\)
又當\(n=2\)時，代入題中的遞推公式可知\(a_2=\cfrac{1}{2}\)
故\(\cfrac{a_0}{a_1}=\cfrac{1}{2},\cfrac{a_1}{a_2}=4\)
故\(\cfrac{a_0}{a_1}+\cfrac{a_1}{a_2}+\cdots+\cfrac{a_{50}}{a_{51}}=(\cfrac{1}{2}+4)+3+4+5+\cdots+51=\cfrac{2655}{2}\)

附：這道題當然如果能夠直接看出\(\{a_n\}\)的通項公式是最好的，這樣可以直接通過數學歸納法
但是看不出來也無關緊要，可以通過間接的代數變形，化簡題中方程，從而通過累乘，累加之類的方法解出通項公式
但一定要注意題目中遞推公式\(n\)的取值範圍，不在取值範圍內的\(n\)須個個單獨拿出討論

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