不等式 \[\begin{aligned} &1. 設 0 \leq a_{i} \leq c(i \geq 1),\left|a_{i}-a_{j}\right| \geq \frac{1}{i+j}(i \neq j) , 證明 c \geq 1 ,\\ &2. 已知 a, b, c>0 , 證明 \sum \frac{(2 a+b+c)^{2}}{2 a^{2}+(b+c)^{2}} \leq 8 ,\\ &3. 設 \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}>-1 , 證明 \sum \frac{1+\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{y}+\mathrm{z}^{2}} \geq 2 ,\\ &4. 已知 \mathrm{a}_{1} \leq \cdots \leq \mathrm{a}_{\mathrm{n}} , 證明 \left[\sum_{i=1}^{\mathrm{n}} \sum_{j=1}^{\mathrm{n}}\left(| \mathrm{a}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}_{\mathrm{j}} |\right)\right]^{2} \leq \frac{2\left(\mathrm{n}^{2}-1\right)}{3} \sum_{i=1}^{\mathrm{n}} \sum_{j=1}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}_{j}\right)^{2} \\ &5. 設 \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0, \mathrm{abc} \geq 2^{9} , 證明 \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{a}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{b}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{c}}} \geq \frac{3}{\sqrt{1+\sqrt[3]{\mathrm{abc}}}} \\ &6. 對所有的實數 \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} , 證明 | x |+| y |+|z |-| x+y|-| y+z|-| z+x|+|x+y+z| \geq 0 \\ &7. 設複數 \mathrm{z}_{\mathrm{i}}, \mathrm{w}_{\mathrm{j}} 對任意 \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{\mathrm{n}} \in\{-1,1\} ，均有 \mid \varepsilon_{1} \mathrm{z}_{1}+\cdots+\varepsilon_{\mathrm{n}} \mathrm{z}_{\mathrm{n}} | \leq |\varepsilon_{1} \mathrm{w}_{1}+\cdots+\varepsilon_{n} \mathrm{w}_{n}|，證明\\ &|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2\leq |w_1|^2+\cdots+|w_n|^2\\ \end{aligned} \]

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