【解題報告】洛谷P6475 建設城市

題目連結

https://www.luogu.com.cn/problem/P6475

思路

考慮排列組合

• 如果兩個分居左右

我們可以列舉一下兩個樓房的高度,假設 \(x<n<y\) ，那麼 \(x\) 左邊有 \(x-1\) 個樓房，右邊有 \(n-x\) 個樓房，我們設我們已經列舉 \(x\) 的高度到 \(i,1 \le i \le m\) ，然後左邊 \(x-1\) 個樓房就可以從 \(i\) 個數字中選擇遞增的一段，也就是 \(C_{i}^{x-1}\) 。右邊也是 \(m-i+1\) 個可選數字 我們可以選擇一個遞增的一段，也就是 \(C_{m-i+1}^{n-x}\)

同理，我們可以對 \(y\) 進行劃分

兩個答案是 \(C_{m-i+1}^{y-n-1}\) , \(C_i^{2n-y}\)

根據乘法原理，對於每個 \(i\) 的方案數量就是這四個數字相乘

答案加起來就好了

• 兩個在同一邊

  那就好辦了，那就是他們中間都是一樣高的

  答案就是 \(C_m^n \times C_m^{n+x-y}\)

但是，這道題目的核心並不是分析這個，這個小學生都能分析出來吧

我們要做的最難得就是求組合數，這個組合數非常大，我們直接求肯定會炸掉吧

即使用楊輝三角形也會複雜度爆炸吧

所以，請循其本 \(C_n^m=\dfrac {n!} {m!(n-m)!}\)

我們用一個階乘，然後利用在模意義下的逆元就好了啊，我們可以用費馬小定理來求逆元吧

然後就沒有然後了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#define int long long 
using namespace std;
const int maxn=200005;
const int mod=998244353;
int m,n,x,y;
int ans;
int fac[maxn],ifac[maxn];
int ksm(int a,int b)
{
	int res=1%mod;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		res=res%mod*a%mod;
		a=a%mod*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return res%mod;
}
int C(int m,int n)
{
	return fac[n+m-1]*ifac[n]%mod*ifac[m-1]%mod;
}
signed main()
{
	cin>>m>>n>>x>>y;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=m+n;i++)
	fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	ifac[m+n]=ksm(fac[m+n],mod-2);
	for(int i=m+n-1;~i;i--)
	ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
	if(x<=n&&y>n)
	{
		for(int i=1;i<=m;i++)
		ans=(ans%mod+C(i,x-1)%mod*C(m-i+1,n-x)%mod*C(m-i+1,y-n-1)%mod*C(i,2*n-y)%mod+mod)%mod;		
	}
	else
	ans=C(m,n)*C(m,n+x-y)%mod;
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}