完全揹包

題目大意：

​ 有n個物品，一個容量為m的揹包，每個物品可以選無限次，問拿到的最大總價值是多少。

思路：

​ dp三步走：dp陣列含義 + 初始化 + 狀態轉移

​ 1、dp陣列含義：dp[i][j]表示在前i個（包括i）物品裡選若干個把容量為j的揹包塞到塞不下所拿到的最大價值。

​ 2、初始化：前0個物品裡拿0的容量顯然dp[0][0] = 0 。

​ 3、狀態轉移：在拿第i個物品時可以取0件、2件、3件等等，直到揹包塞不下為止，所以在取k個第i個物品時要先預留出k * v的空間。所以：

dp[j] = max(dp[j] , dp[j - k * v] + k * w) ;

有01揹包程式碼：

    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
        cin >> v >> w ;
        for(int j = m ; j >= v ; j -- )//一維滾動優化
            dp[j] = max(dp[j] , dp[j - v] + w) ;
    }
    cout<<f[m] ;

根據01揹包的取和不取 ，我們可以將完全揹包的每一個物品分成取0件、2件、3件等等，直到揹包塞不下為止。這樣樸素的想法就可以讓我們寫出完全揹包的樸素解法(n^3)：

 for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
        cin>>v>>w ;
        for(int j = m ; j >= v ; j -- )
            for(int k = 1 ; j - k * v >= 0 ; k ++ )
                dp[j] = max(dp[j] , dp[j - k * v] + k * w) ;
    }
    cout<<dp[m] ;
 

n^2優化：

該解法對於前i個物品容量為j，有下圖中第一個式子。對於前i個物品，容量為j-v時有下圖中第二個式子。兩個式子聯立就變成了完全揹包的狀態轉移方程（綠色字）。

於是乎，程式碼進化了：

for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
    cin>>v>>w ;
    for(int j = v ; j <= m ; j ++ )
        dp[j] = max(dp[j] , dp[j - v] + w) ;
}