參考資料

二維字首和

假設我們給定義個二維陣列a以及一個座標(x,y）,我們把它左上角的所有元素的和叫做a在（x,y）的字首和，定義出這樣子的一個二維陣列，那它就是字首和陣列。

sum[x][y]=sum[x-1][y]+sum[x][y-1]+a[x][y];

可以用面積來理解，（0，0）->(x，y)的面積=紅色圍住的面積+藍色圍住的面積—重疊部分的面積

假設我給出字首和陣列，給定兩個點（x1,y1）和（x2,y2），他們分別表示一個矩形的左上角和右下角（x1,y1）和（x2,y2），求兩點之間的矩形所有的數的和。理解的話看下圖，這裡給出具體公式：

all=sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1,][y2]+sum[x-1][y-1];

具體差分陣列是怎樣定義的好像我也不懂，但這並不影響。
同樣的，二位差分數陣列適用的條件也是有範圍的，我們在一維差分裡，我們應用差分陣列的條件是在一個連續段上加上或減去某一個數。
在二維中，我們的條件是對一個矩形內的內容進行操作。

下圖以及相應引用來自SolitudeAlma

從圖中我們可以很清楚的看到，如果在x1，y1上加一個數c那麼它右下角的數都會加上c，那麼該怎麼辦呢，其實這也是容斥定理。我們只需要減去右邊多加的部分和下邊多加的部分最後再加上重複減去的部分即可

所以，我們對二位差分陣列進行的操作如下：

add(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
	dif[x1][y1]+=c,dif[x2+1][y2+1]+=c;
	dif[x2+1][y1]-=c,dif[x1][y1+1]-=c;
}

我只要在圖中帶框的位置進行加減操作就不會影響到矩形外的元素了