高維字首和

• 二維字首和：\(s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]+a[i][j]-s[i-1][j-1]\)
• 三位字首和：\(s[i][j][k]=s[i-1][j][k]+s[i][j-1][k]+s[i][j][k-1]-s[i-1][j-1][k]-s[i-1][j][k-1]-s[i][j-1][k-1]+s[i-1][j-1][k-1]\)
  \(\dots\)
  設空間的維度為 \(k\)，則：
• 時間複雜度：\(O(|高維空間容量|\times 2^k)\)
  另外一種求解方式：
• 二維：

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]+=a[i-1][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]+=a[i][j-1];
 

• 三維：

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=p;k++)
                a[i][j][k]+=a[i-1][j][k];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=p;k++)
                a[i][j][k]+=a[i][j-1][k];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=p;k++)
                a[i][j][k]+=a[i][j][k-1];
 

\(\dots\)

• 時間複雜度：\(O(|高維空間容量|\times k)\)

高維差分

• 二維差分
  在子矩陣（\((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 分別為子矩陣左上角和右下角下標）中加上一個數 \(k\)，先差分：\(s[x_1][y+1]+=k,s[x_2+1][y_1]-=k,s[x_1][y_2+1]-=k,s[x_2+1][y_2+1]+=k\)，再取字首和
• 三維差分

\(\dots\)