NOIP 模擬 $85\; \rm 莓良心$

阿新 • • 發佈：2021-10-29

題解

題解 $by\;zj\varphi$

考慮每個數單獨的貢獻。

每個數一定會貢獻自己，即為 $\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}$，而兩個不同的數在一起就會使得這兩個都互相有貢獻，所以原問題可以轉化為不同的數對的貢獻，即為 $(n-1)\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix}$。

後一個公式意思就是在剩下的數裡選一個和當前數繫結（合併為一個數），再用這 $n-1$ 個數分成 $k$ 個集合，大括號表示第二類斯特林數。

答案就是 $\sum_{i=1}^{n}w_i\times (\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}+(n-1)\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix})$

。

而第二類斯特林數有一個容斥公式，看它就行。

其中的次方可以用一個類似線性篩的東西。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ri signed
#define pd(i) ++i
#define bq(i) --i
#define func(x) std::function<x>
namespace IO{
    char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
    #define gc() p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?(-1):*p1++
    #define debug1(x) std::cerr << #x"=" << x << ' '
    #define debug2(x) std::cerr << #x"=" << x << std::endl
    #define Debug(x) assert(x)
    struct nanfeng_stream{
        template<typename T>inline nanfeng_stream &operator>>(T &x) {
            bool f=false;x=0;char ch=gc();
            while(!isdigit(ch)) f|=ch=='-',ch=gc();
            while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=gc();
            return x=f?-x:x,*this;
        }
    }cin;
}
using IO::cin;
namespace nanfeng{
    #define FI FILE *IN
    #define FO FILE *OUT
    template<typename T>inline T cmax(T x,T y) {return x>y?x:y;}
    template<typename T>inline T cmin(T x,T y) {return x>y?y:x;}
    using ll=long long;
    static const int N=1e6+7,MOD=998244353;
    int prim[N],cnt,a,n,k;
    ll frac[N],inv[N],g[N],p[N],sum,ans,res1,res2;
    bool vis[N];
    auto fpow=[](ll x,int y) {
        ll res=1;
        while(y) {
            if (y&1) res=res*x%MOD;
            x=x*x%MOD;
            y>>=1;
        }
        return res;
    };
    auto C=[](int n,int m) {return frac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;};
    auto Getn=[](int x) {
        p[1]=1;
        for (ri i(2);i<=x;pd(i)) {
            if (!vis[i]) prim[++cnt]=i,p[i]=fpow(i,n-1);
            for (ri j(1);j<=cnt&&i*prim[j]<=x;pd(j)) {
                vis[prim[j]*i]=true;
                p[prim[j]*i]=p[i]*p[prim[j]]%MOD;
                if (!(i%prim[j])) break;
            }
        }
    };
    inline int main() {
        FI=freopen("ichigo.in","r",stdin);
        FO=freopen("ichigo.out","w",stdout);
        cin >> n >> k;
        frac[0]=inv[0]=1ll;
        for (ri i(1);i<=n;pd(i)) frac[i]=frac[i-1]*i%MOD;
        inv[n]=fpow(frac[n],MOD-2);
        for (ri i(n-1);i;bq(i)) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%MOD;
        for (ri i(1);i<=n;pd(i)) cin >> a,sum+=a;
        Getn(k);
        for (ri i(0),f=1;i<k;pd(i),f=-f) res1+=f*C(k,i)*p[k-i]%MOD;
        for (ri i(0),f=1;i<k;pd(i),f=-f) res2+=f*C(k,i)*(p[k-i]*(k-i)%MOD)%MOD;
        ((res1%=MOD)+=MOD)*=inv[k];
        ((res2%=MOD)+=MOD)*=inv[k];
        ans=(sum%MOD)*((res2%MOD+(n-1)*(res1%MOD))%MOD);
        printf("%lld\n",ans%MOD);
        return 0;
    }
}
int main() {return nanfeng::main();}