CF407C.Curious Array k階差分

題意

給定長度為\(n\)的陣列\(a\)，進行\(m\)次修改，每次修改給定\(l ,r,k\)，給區間\([l,r]\)加上\(\binom{j - l_i + k_i}{k_i}\)

求所有修改以後每個數的值

分析

嘗試從\(k\)比較小來入手，顯然給定的\(a\)初始大小我們並不關心

考慮\(a\)陣列的差分陣列

1階差分

二階差分

\(n\)階差分

如果能夠維護\(n\)階差分陣列，就可以最後對差分陣列做字首和還原出原陣列，容易發現最多進行\(k+1\)次差分後全部變為0，再注意維護r+1$的位置

他們的和就是\(\sum_{i=0}^k\binom{r-l+k-i}{r-l} = \binom{r-l+k-i+1}{k-i+1}\)

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<ll,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> VI;

inline ll rd(){
    ll x;
    scanf("%lld",&x);
    return x;
}

const int MOD = (int)1e9 + 7;

inline void add(int &a,int b){
    a += b;
    if(a >= MOD) a -= MOD;
}

inline int mul(int a,int b){
    return (ll)a * b % MOD;
}

inline int ksm(int a,int b = MOD - 2,int m = MOD){
    int ans = 1;
    int base = a;
    while(b){
        if(b & 1) ans = mul(ans,base);
        base = mul(base,base);
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}


const int maxn = 2e5 + 5;

int iv[maxn];
int fac[maxn];

inline int C(int n,int m){
    if(n < m) return 0;
    return mul(fac[n],mul(iv[m],iv[n - m]));
}

int ans[maxn][105];
int a[maxn];

int main(){
    fac[0] = iv[0] = 1;
    for(int i = 1;i < maxn;i++)
        fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
    iv[maxn - 1] = ksm(fac[maxn - 1]);
    for(int i = maxn - 2;i;i--)
        iv[i] = mul(iv[i + 1],i + 1);
    int n = rd();
    int m = rd();
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        a[i] = rd();
    for(int i = 0;i < m;i++){
        int l = rd();
        int r = rd();
        int k = rd();
        for(int j = 0;j <= k;j++){
            add(ans[l][j],C(k,k - j));
        }
        for(int j = 0;j <= k;j++){
            add(ans[r + 1][j],MOD - C(r - l + k + 1,k - j));
        }
    }
    for(int i = 1;i < n;i++)
        for(int j = 101;j >= 1;j--)
            add(ans[i + 1][j - 1],(ans[i][j] + ans[i][j - 1]) % MOD);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        printf("%d ",(ans[i][0] + a[i]) % MOD);
}